Номер 451, страница 137 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

451. *Лазерный луч падает из воздуха на прозрачную пластинку толщиной $h = 2,0 \text{ см}$ под углом, синус которого равен 0,80 $(\sin\alpha = 0,80)$. Определите расстояние, на которое сместилась ось лазерного луча после прохождения пластинки. Абсолютный показатель преломления вещества пластинки $n = \frac{4}{3}$.

Дано:

Толщина пластинки, $h = 2,0 \text{ см} = 0,02 \text{ м}$

Синус угла падения, $\sin\alpha = 0,80$

Абсолютный показатель преломления вещества пластинки, $n = \frac{4}{3}$

Найти:

Расстояние смещения лазерного луча, $x$ - ?

Решение:

При прохождении лазерного луча из воздуха в прозрачную пластинку происходит преломление света. Обозначим угол падения как $\alpha$, а угол преломления как $\beta$. Согласно закону преломления света (закону Снеллиуса): $n_1 \sin\alpha = n_2 \sin\beta$

Поскольку луч падает из воздуха, его показатель преломления $n_1 \approx 1$. Показатель преломления пластинки $n_2 = n$. Тогда закон преломления примет вид: $\sin\alpha = n \sin\beta$

Отсюда мы можем выразить и рассчитать синус угла преломления: $\sin\beta = \frac{\sin\alpha}{n} = \frac{0,80}{4/3} = \frac{0,80 \cdot 3}{4} = \frac{2,4}{4} = 0,60$

После прохождения пластинки луч выходит из нее параллельно первоначальному направлению, но со смещением на расстояние $x$. Это смещение можно найти из геометрических соображений. Формула для бокового смещения луча в плоскопараллельной пластинке: $x = \frac{h \cdot \sin(\alpha - \beta)}{\cos\beta}$

Чтобы использовать эту формулу, нам нужно найти $\cos\beta$ и $\sin(\alpha - \beta)$. Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$. Поскольку углы падения и преломления являются острыми (от 0° до 90°), их косинусы будут положительными.

Найдем косинус угла падения $\alpha$: $\cos\alpha = \sqrt{1 - \sin^2\alpha} = \sqrt{1 - (0,80)^2} = \sqrt{1 - 0,64} = \sqrt{0,36} = 0,60$

Найдем косинус угла преломления $\beta$: $\cos\beta = \sqrt{1 - \sin^2\beta} = \sqrt{1 - (0,60)^2} = \sqrt{1 - 0,36} = \sqrt{0,64} = 0,80$

Теперь раскроем синус разности углов: $\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha \cos\beta - \cos\alpha \sin\beta$. Подставим известные значения: $\sin(\alpha - \beta) = 0,80 \cdot 0,80 - 0,60 \cdot 0,60 = 0,64 - 0,36 = 0,28$

Теперь мы можем рассчитать смещение $x$: $x = \frac{h \cdot \sin(\alpha - \beta)}{\cos\beta} = \frac{0,02 \text{ м} \cdot 0,28}{0,80} = \frac{0,0056}{0,80} = 0,007 \text{ м}$

Переведем результат в сантиметры: $x = 0,007 \text{ м} = 0,7 \text{ см}$

Ответ: $x = 0,7 \text{ см}$.