Номер 453, страница 138 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

453. *Луч света падает на плоское зеркало под углом, синус которого равен 0,8 ($sin\alpha = 0,8$). Определите, на какое расстояние сместится точка, в которой луч отражается от зеркала, если на зеркало положить прозрачную плоскопараллельную пластину толщиной $h = 4,8 \text{ мм}$. Абсолютный показатель преломления материала пластины $n = \frac{4}{3}$.

Дано:

$\sin\alpha = 0,8$

$h = 4,8 \text{ мм}$

$n = \frac{4}{3}$

Найти:

$x$

Решение:

Когда на зеркале нет пластины, луч света падает на него в некоторой точке A. Когда на зеркало кладут плоскопараллельную пластину, луч света сначала падает на верхнюю грань пластины в точке C, преломляется, проходит через пластину и падает на зеркало уже в другой точке, B. Расстояние $x = AB$ и есть искомое смещение.

Рассмотрим ход луча. Пусть луч падает на верхнюю поверхность пластины в точке C под углом падения $\alpha$ к нормали. После преломления луч распространяется в пластине под углом $\beta$ к нормали.

Чтобы найти смещение $x$, воспользуемся геометрическим построением. Опустим из точки C перпендикуляр CD на поверхность зеркала. Длина этого перпендикуляра равна толщине пластины $h$. Если бы пластины не было, луч, падающий в точку C, достиг бы зеркала в точке A. Точка A лежит на продолжении падающего луча. Смещение луча происходит из-за преломления, и луч попадает в точку B. Из прямоугольных треугольников $\triangle CDA$ и $\triangle CDB$ можно выразить катеты $DA$ и $DB$:

$DA = CD \cdot \tan\alpha = h \cdot \tan\alpha$

$DB = CD \cdot \tan\beta = h \cdot \tan\beta$

Искомое смещение $x$ равно разности этих отрезков:

$x = DA - DB = h(\tan\alpha - \tan\beta)$

Теперь найдем значения $\tan\alpha$ и $\tan\beta$.

1. По известному синусу угла падения $\sin\alpha = 0,8$ найдем его косинус, используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$:

$\cos\alpha = \sqrt{1 - \sin^2\alpha} = \sqrt{1 - 0,8^2} = \sqrt{1 - 0,64} = \sqrt{0,36} = 0,6$

Тогда тангенс угла падения равен:

$\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{0,8}{0,6} = \frac{4}{3}$

2. Угол преломления $\beta$ найдем из закона Снеллиуса: $n_1 \sin\alpha = n_2 \sin\beta$. Здесь $n_1=1$ (показатель преломления воздуха), а $n_2=n$ (показатель преломления пластины).

$1 \cdot \sin\alpha = n \cdot \sin\beta$

$\sin\beta = \frac{\sin\alpha}{n} = \frac{0,8}{4/3} = \frac{4/5}{4/3} = \frac{4}{5} \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{5} = 0,6$

Теперь найдем косинус и тангенс угла преломления:

$\cos\beta = \sqrt{1 - \sin^2\beta} = \sqrt{1 - 0,6^2} = \sqrt{1 - 0,36} = \sqrt{0,64} = 0,8$

$\tan\beta = \frac{\sin\beta}{\cos\beta} = \frac{0,6}{0,8} = \frac{3}{4}$

3. Подставим найденные значения тангенсов в формулу для смещения $x$:

$x = h(\tan\alpha - \tan\beta) = 4,8 \text{ мм} \cdot \left(\frac{4}{3} - \frac{3}{4}\right)$

Вычислим значение в скобках:

$\frac{4}{3} - \frac{3}{4} = \frac{16 - 9}{12} = \frac{7}{12}$

Теперь найдем смещение $x$:

$x = 4,8 \cdot \frac{7}{12} = \frac{4,8}{12} \cdot 7 = 0,4 \cdot 7 = 2,8 \text{ мм}$

Ответ: смещение точки отражения луча на зеркале составит 2,8 мм.