Номер 455, страница 138 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

455. *Луч света падает перпендикулярно на боковую грань прямой стеклянной треугольной призмы, преломляющий угол которой $\varphi = 15^\circ$. После отражения от второй посеребренной грани луч снова попадает на первую грань призмы и выходит из нее в воздух под углом $\gamma = 60^\circ$ к перпендикуляру, проведенному в точку выхода луча из призмы. Определите абсолютный показатель преломления стекла.

Дано

Преломляющий угол призмы: $\phi = 15°$

Угол выхода луча: $\gamma = 60°$

Показатель преломления воздуха: $n_{в} \approx 1$

Найти:

Абсолютный показатель преломления стекла: $n - ?$

Решение

1. Луч света падает на первую боковую грань призмы перпендикулярно, поэтому он не преломляется на границе воздух-стекло и проходит в призму, не меняя своего направления. Он движется перпендикулярно этой грани до тех пор, пока не достигнет второй грани.

2. Определим угол падения луча на вторую, посеребренную грань. Пусть первая грань (входа) и вторая грань (посеребренная) образуют двугранный угол, равный преломляющему углу призмы $\phi$. Так как луч внутри призмы перпендикулярен первой грани, то угол между лучом и второй гранью будет $90° - \phi$. Угол падения $\alpha_1$ — это угол между лучом и перпендикуляром (нормалью) ко второй грани. Следовательно, $\alpha_1 = 90° - (90° - \phi) = \phi$.

3. На второй грани происходит отражение света. Согласно закону отражения, угол отражения $\beta_1$ равен углу падения $\alpha_1$. Таким образом, $\beta_1 = \alpha_1 = \phi$.

4. Отраженный луч распространяется внутри призмы и снова падает на первую грань, но уже изнутри. Найдем угол падения $\alpha_2$ на эту грань. Первоначальное направление луча было перпендикулярно первой грани. При отражении от второй грани, луч отклоняется от своего первоначального направления на угол $\delta = \alpha_1 + \beta_1 = \phi + \phi = 2\phi$. Поскольку первая грань и нормаль к ней не изменили своего положения, то угол падения луча на первую грань изнутри $\alpha_2$ будет равен углу отклонения, то есть $\alpha_2 = 2\phi$.

5. На границе стекло-воздух луч преломляется, выходя из призмы. Применим закон Снеллиуса. Угол падения в стекле равен $\alpha_2$, а угол преломления в воздухе равен $\gamma$. Показатель преломления стекла — $n$, воздуха — $n_{в} = 1$.

$n \sin(\alpha_2) = n_{в} \sin(\gamma)$

Подставим вместо $\alpha_2$ его выражение через $\phi$:

$n \sin(2\phi) = 1 \cdot \sin(\gamma)$

6. Выразим из этого уравнения искомый показатель преломления $n$ и подставим числовые значения:

$n = \frac{\sin(\gamma)}{\sin(2\phi)} = \frac{\sin(60°)}{\sin(2 \cdot 15°)} = \frac{\sin(60°)}{\sin(30°)}$

Так как $\sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin(30°) = \frac{1}{2}$, получаем:

$n = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = \sqrt{3} \approx 1.732$

Ответ: абсолютный показатель преломления стекла равен $\sqrt{3}$.