Номер 454, страница 138 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

454. *Луч света падает из воздуха на плоскопараллельную пластинку толщиной $H$ из стекла с абсолютным показателем преломления $n$. Из-за многократных отражений от граней пластинки на экране Э (рис. 122) образуется ряд светлых пятен. Определите расстояние между пятнами, если угол падения лучей на пластинку равен $\alpha$, а падающие на экран лучи перпендикулярны ему.

Рис. 122

Дано:

Толщина плоскопараллельной пластинки: $H$

Абсолютный показатель преломления стекла: $n$

Угол падения лучей на пластинку: $\alpha$

Показатель преломления воздуха: $n_{возд} \approx 1$

Найти:

Расстояние между соседними светлыми пятнами на экране: $x$

Решение:

Рассмотрим ход лучей, создающих два соседних светлых пятна на экране. Пусть луч света падает на верхнюю грань пластинки в точке A. Согласно закону преломления света (закону Снеллиуса):

$n_{возд} \sin\alpha = n \sin\beta$

Так как $n_{возд} = 1$, получаем:

$\sin\alpha = n \sin\beta$

Отсюда можно выразить синус угла преломления $\beta$:

$\sin\beta = \frac{\sin\alpha}{n}$

Первое светлое пятно образуется лучом, который преломился в точке А, дошел до точки В на нижней грани и вышел из пластинки. Второе пятно образуется лучом, который в точке В отразился, дошел до точки С на верхней грани, снова отразился и, дойдя до точки D на нижней грани, вышел из пластинки.

Расстояние между пятнами на экране будет равно горизонтальной проекции отрезка BD.

Найдем сначала длину отрезка BD, который представляет собой смещение луча вдоль поверхности пластинки после двух внутренних отражений. Из геометрии хода лучей внутри пластинки видно, что горизонтальное смещение луча при прохождении от одной грани до другой равно $L = H \tan\beta$.

Отрезок BD складывается из двух таких смещений (соответствующих путям B-C и C-D). Таким образом, его длина равна:

$\Delta L = BD = 2L = 2H \tan\beta$

По условию, лучи падают на экран перпендикулярно, а экран горизонтален. Это значит, что падающие на пластинку лучи вертикальны. Угол падения $\alpha$ — это угол между падающим лучом (вертикалью) и нормалью к поверхности пластинки. Следовательно, угол наклона самой пластинки к горизонтали также равен $\alpha$.

Расстояние $x$ между пятнами на экране — это горизонтальная проекция смещения $\Delta L$ вдоль пластинки. Таким образом:

$x = \Delta L \cos\alpha = 2H \tan\beta \cos\alpha$

Теперь выразим $\tan\beta$ через известные величины $\alpha$ и $n$. Используем основное тригонометрическое тождество:

$\cos\beta = \sqrt{1 - \sin^2\beta} = \sqrt{1 - \frac{\sin^2\alpha}{n^2}} = \frac{\sqrt{n^2 - \sin^2\alpha}}{n}$

Тогда тангенс угла преломления равен:

$\tan\beta = \frac{\sin\beta}{\cos\beta} = \frac{\frac{\sin\alpha}{n}}{\frac{\sqrt{n^2 - \sin^2\alpha}}{n}} = \frac{\sin\alpha}{\sqrt{n^2 - \sin^2\alpha}}$

Подставим это выражение в формулу для $x$:

$x = 2H \left( \frac{\sin\alpha}{\sqrt{n^2 - \sin^2\alpha}} \right) \cos\alpha$

Сгруппировав члены, получим:

$x = \frac{2H \sin\alpha \cos\alpha}{\sqrt{n^2 - \sin^2\alpha}}$

Используя формулу синуса двойного угла $ \sin(2\alpha) = 2 \sin\alpha \cos\alpha $, окончательно получаем:

$x = \frac{H \sin(2\alpha)}{\sqrt{n^2 - \sin^2\alpha}}$

Ответ: Расстояние между пятнами равно $x = \frac{H \sin(2\alpha)}{\sqrt{n^2 - \sin^2\alpha}}$.