Номер 457, страница 139 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

457. *Луч света падает на одну из боковых граней прямой стеклянной треугольной призмы перпендикулярно ее плоскости и выходит из другой преломляющей грани под углом, в два раза превышающим угол падения на вторую грань. Определите преломляющий угол призмы, если абсолютный показатель преломления стекла $n = 1.6$.

Дано:

$n = 1,6$

$\beta_2 = 2\alpha_2$

$n_{воздуха} = 1$

Найти:

$\phi - ?$

Решение:

Луч света падает на первую грань прямой треугольной призмы перпендикулярно ее плоскости. Это означает, что угол падения на первую грань $\alpha_1 = 0^\circ$. Согласно закону преломления света (закон Снеллиуса), $n_{воздуха} \sin \alpha_1 = n \sin \beta_1$, где $\beta_1$ - угол преломления на первой грани. Поскольку $\sin 0^\circ = 0$, то и $\sin \beta_1 = 0$, что означает $\beta_1 = 0^\circ$. Таким образом, луч входит в призму, не преломляясь и не меняя своего направления.

Рассмотрим геометрию хода луча внутри призмы. Пусть преломляющий угол призмы (угол при вершине между преломляющими гранями) равен $\phi$. Так как луч вошел в призму перпендикулярно первой грани, он будет падать на вторую грань под углом падения $\alpha_2$, который геометрически связан с преломляющим углом призмы. Из рассмотрения треугольника, образованного вершиной призмы и лучом света внутри нее, следует, что угол падения на вторую грань равен преломляющему углу призмы: $\alpha_2 = \phi$.

На второй грани луч выходит из стекла (среда с показателем преломления $n$) в воздух (среда с показателем преломления $n_{воздуха} \approx 1$). Запишем закон Снеллиуса для этой границы:

$n \sin \alpha_2 = n_{воздуха} \sin \beta_2$

где $\beta_2$ - угол преломления при выходе из призмы (угол между вышедшим лучом и нормалью ко второй грани).

По условию задачи, угол выхода в два раза превышает угол падения на вторую грань, то есть $\beta_2 = 2\alpha_2$. Подставим это условие в закон Снеллиуса, приняв $n_{воздуха} = 1$:

$n \sin \alpha_2 = \sin(2\alpha_2)$

Воспользуемся формулой синуса двойного угла: $\sin(2\alpha) = 2 \sin \alpha \cos \alpha$.

$n \sin \alpha_2 = 2 \sin \alpha_2 \cos \alpha_2$

Так как луч выходит из призмы, угол падения $\alpha_2$ не равен нулю, а значит $\sin \alpha_2 \neq 0$. Следовательно, мы можем разделить обе части уравнения на $\sin \alpha_2$:

$n = 2 \cos \alpha_2$

Отсюда находим косинус угла падения на вторую грань:

$\cos \alpha_2 = \frac{n}{2}$

Поскольку мы установили, что $\alpha_2 = \phi$, получаем выражение для преломляющего угла призмы:

$\cos \phi = \frac{n}{2}$

Подставим данное в условии значение показателя преломления $n = 1,6$:

$\cos \phi = \frac{1,6}{2} = 0,8$

Тогда преломляющий угол призмы равен:

$\phi = \arccos(0,8) \approx 36,87^\circ \approx 37^\circ$

Ответ: преломляющий угол призмы $\phi = \arccos(0,8) \approx 37^\circ$.