Номер 470, страница 142 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

470. На поверхность жидкости, находящейся в тонкостенном вертикальном цилиндрическом сосуде, падает лазерный луч (рис. 125). Точка, в которой луч входит в сосуд, находится на высоте $h_1 = 29$ мм от уровня жидкости. Точки выхода из сосуда отраженного и преломленного лучей находятся на расстояниях $h_2 = 17$ мм и $h_3 = 39$ мм соответственно. Определите показатель преломления жидкости, если диаметр сосуда $D = 80$ мм.

Рис. 125

Дано:

$h_1 = 29 \text{ мм} = 0.029 \text{ м}$

$h_2 = 17 \text{ мм} = 0.017 \text{ м}$

$h_3 = 39 \text{ мм} = 0.039 \text{ м}$

$D = 80 \text{ мм} = 0.080 \text{ м}$

Показатель преломления воздуха $n_1 = 1$.

Найти:

Показатель преломления жидкости $n$.

Решение:

Обозначим углы падения и преломления относительно нормали к поверхности жидкости (вертикальной линии) как $\alpha$ и $\beta$ соответственно. Также введем углы, которые лучи составляют с горизонтальной поверхностью жидкости: $\theta_i$ – для падающего луча, $\theta_r$ – для отраженного, и $\theta_t$ – для преломленного. Согласно закону отражения, угол падения равен углу отражения, что для углов с поверхностью означает $\theta_i = \theta_r$.

Рассмотрим ход падающего и отраженного лучей. Их путь можно представить как единую прямую, если отразить пространство под поверхностью жидкости. В этом случае луч проходит горизонтальное расстояние, равное диаметру сосуда $D$, и суммарное вертикальное расстояние $h_1 + h_2$. Тогда тангенс угла $\theta_i$ можно найти из геометрии:

$\tan \theta_i = \frac{h_1 + h_2}{D}$

Теперь рассмотрим преломленный луч. Он проходит от точки падения на поверхность жидкости до противоположной стенки сосуда. Пусть $x$ – горизонтальное расстояние, которое прошел падающий луч от стенки сосуда до точки падения на поверхность. Тогда отраженный и преломленный лучи проходят по горизонтали расстояние $D - x$. Из подобия треугольников, образованных падающим и отраженным лучами (с высотами $h_1$ и $h_2$ и основаниями $x$ и $D-x$), следует:

$\frac{x}{h_1} = \frac{D-x}{h_2}$

Отсюда найдем горизонтальное расстояние $D-x$, которое проходит преломленный луч:

$x h_2 = D h_1 - x h_1 \implies x(h_1+h_2) = D h_1 \implies x = \frac{D h_1}{h_1 + h_2}$

$D - x = D - \frac{D h_1}{h_1 + h_2} = \frac{D(h_1+h_2) - D h_1}{h_1+h_2} = \frac{D h_2}{h_1+h_2}$

Тангенс угла преломленного луча с горизонталью $\theta_t$ равен отношению вертикального пути $h_3$ к горизонтальному $D-x$:

$\tan \theta_t = \frac{h_3}{D-x} = \frac{h_3}{\frac{D h_2}{h_1+h_2}} = \frac{h_3(h_1+h_2)}{D h_2}$

Закон преломления Снеллиуса записывается через углы с нормалью ($\alpha$ и $\beta$):

$n_1 \sin \alpha = n \sin \beta$

Связь между углами с нормалью и с горизонталью: $\alpha = 90^\circ - \theta_i$ и $\beta = 90^\circ - \theta_t$. Подставляя это в закон Снеллиуса и учитывая, что $n_1=1$:

$1 \cdot \sin(90^\circ - \theta_i) = n \cdot \sin(90^\circ - \theta_t)$

$\cos \theta_i = n \cos \theta_t$

Отсюда искомый показатель преломления:

$n = \frac{\cos \theta_i}{\cos \theta_t}$

Используя тригонометрическое тождество $\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{1 + \tan^2 \theta}}$, получаем:

$n = \frac{1/\sqrt{1 + \tan^2 \theta_i}}{1/\sqrt{1 + \tan^2 \theta_t}} = \sqrt{\frac{1 + \tan^2 \theta_t}{1 + \tan^2 \theta_i}}$

Подставим ранее найденные выражения для тангенсов:

$n^2 = \frac{1 + \left( \frac{h_3(h_1+h_2)}{D h_2} \right)^2}{1 + \left( \frac{h_1 + h_2}{D} \right)^2} = \frac{ \frac{D^2 h_2^2 + h_3^2(h_1+h_2)^2}{D^2 h_2^2} }{ \frac{D^2 + (h_1+h_2)^2}{D^2} } = \frac{D^2 h_2^2 + h_3^2(h_1+h_2)^2}{h_2^2 [D^2 + (h_1+h_2)^2]}$

Подставим числовые значения (можно использовать миллиметры, так как единицы измерения сокращаются):

$h_1 = 29 \text{ мм}, h_2 = 17 \text{ мм}, h_3 = 39 \text{ мм}, D = 80 \text{ мм}$.

$h_1 + h_2 = 29 + 17 = 46 \text{ мм}$.

$n^2 = \frac{80^2 \cdot 17^2 + 39^2 \cdot 46^2}{17^2 \cdot (80^2 + 46^2)} = \frac{6400 \cdot 289 + 1521 \cdot 2116}{289 \cdot (6400 + 2116)}$

$n^2 = \frac{1849600 + 3218436}{289 \cdot 8516} = \frac{5068036}{2461124} \approx 2.0592$

$n = \sqrt{2.0592} \approx 1.435$

Округляя результат до трех значащих цифр, получаем $n \approx 1.44$.

Ответ: $n \approx 1.44$