Номер 473, страница 144 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

473. Одна из граней равнобедренной стеклянной треугольной призмы является зеркальной. На другую грань этой призмы вдоль перпендикуляра падает луч света. Определите преломляющий угол призмы, если после двух отражений от граней луч выходит из призмы перпендикулярно ее основанию (рис. 128).

Рис. 128

Дано:
Призма равнобедренная, стеклянная.
Одна боковая грань - зеркальная.
Луч света падает на другую боковую грань перпендикулярно ей.
После двух отражений от боковых граней луч выходит из призмы перпендикулярно ее основанию.

Найти:
Преломляющий угол призмы $ \phi $.

Решение:

Обозначим вершины призмы как A, B, C, где $ \phi $ - угол при вершине A. Так как призма равнобедренная, углы при основании BC равны: $ \angle B = \angle C = \frac{180^\circ - \phi}{2} = 90^\circ - \frac{\phi}{2} $.

Проследим ход луча согласно рисунку 128.

1. Луч света падает в точке D на грань AB перпендикулярно ей. Поэтому он не преломляется и распространяется внутри призмы по прямой DE, где E - точка на грани AC.

2. В точке E луч отражается от грани AC и идет к точке F на грани AB.

3. В точке F луч отражается от грани AB и идет к точке G на основании BC.

4. По условию, луч выходит из призмы перпендикулярно основанию. Это означает, что его последний отрезок внутри призмы, FG, перпендикулярен основанию BC.

Рассмотрим геометрию хода луча, чтобы найти связь между углами.

- Рассмотрим прямоугольный треугольник FBG (угол G равен 90°). Угол B в этом треугольнике равен углу при основании призмы: $ \angle B = 90^\circ - \frac{\phi}{2} $. Сумма углов в треугольнике равна 180°, поэтому угол BFG равен: $ \angle BFG = 180^\circ - 90^\circ - \angle B = 90^\circ - (90^\circ - \frac{\phi}{2}) = \frac{\phi}{2} $.

- Теперь рассмотрим отражение в точке F на грани AB. По закону отражения, угол падения равен углу отражения. Это также означает, что угол между падающим лучом и поверхностью равен углу между отраженным лучом и поверхностью. Падающий луч - EF, отраженный - FG. Угол, который отраженный луч FG составляет с поверхностью AB, это $ \angle BFG = \frac{\phi}{2} $. Следовательно, угол, который падающий луч EF составляет с поверхностью AB, также равен $ \frac{\phi}{2} $. Этот угол является внутренним углом треугольника AFE, то есть $ \angle AFE = \frac{\phi}{2} $.

- Далее рассмотрим вход луча и первое отражение. Луч DE падает перпендикулярно грани AB. Рассмотрим треугольник ADE. Угол при вершине A равен $ \phi $, а угол $ \angle ADE = 90^\circ $. Следовательно, третий угол треугольника $ \angle AED = 180^\circ - 90^\circ - \phi = 90^\circ - \phi $.

- Теперь рассмотрим отражение в точке E на грани AC. Падающий луч - DE, отраженный - EF. Угол, который падающий луч DE составляет с поверхностью AC, равен $ \angle AED = 90^\circ - \phi $. Согласно закону отражения, угол, который отраженный луч EF составляет с поверхностью AC, должен быть таким же. Однако, луч DE и луч EF находятся по разные стороны от точки E на прямой AC. Угол отраженного луча с поверхностью AC будет $ \angle CEF $. Таким образом, $ \angle CEF = \angle AED = 90^\circ - \phi $.

- Угол $ \angle AEF $ является внутренним углом треугольника AFE. Так как точки A, E, C лежат на одной прямой, угол $ \angle AEF $ является смежным с углом $ \angle CEF $. Следовательно: $ \angle AEF = 180^\circ - \angle CEF = 180^\circ - (90^\circ - \phi) = 90^\circ + \phi $.

- Наконец, рассмотрим сумму углов в треугольнике AFE. Она должна быть равна 180°: $ \angle FAE + \angle AFE + \angle AEF = 180^\circ $

- Подставим найденные нами выражения для углов: $ \phi + \frac{\phi}{2} + (90^\circ + \phi) = 180^\circ $

- Решим полученное уравнение относительно $ \phi $: $ \frac{5\phi}{2} + 90^\circ = 180^\circ $ $ \frac{5\phi}{2} = 90^\circ $ $ 5\phi = 180^\circ $ $ \phi = \frac{180^\circ}{5} = 36^\circ $

Ответ: Преломляющий угол призмы равен $ 36^\circ $.