Номер 756, страница 220 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

756. Источник монохроматического излучения мощностью $P = 60 \text{ Вт}$ за промежуток времени $\Delta t = 1,0 \text{ мин}$ испускает $N = 8,0 \cdot 10^{21}$ фотонов. Определите длину волны этого излучения.

Дано:

Мощность излучения $P = 60$ Вт
Промежуток времени $\Delta t = 1,0$ мин
Число фотонов $N = 8,0 \cdot 10^{21}$
Постоянная Планка $h \approx 6,63 \cdot 10^{-34}$ Дж·с
Скорость света в вакууме $c = 3 \cdot 10^8$ м/с

Система СИ:
$\Delta t = 1,0 \text{ мин} = 1,0 \cdot 60 \text{ с} = 60$ с

Найти:

Длина волны излучения $\lambda$ - ?

Решение:

Полная энергия $E$, излучённая источником за время $\Delta t$, определяется его мощностью $P$ по формуле:

$E = P \cdot \Delta t$

С другой стороны, эта же энергия равна суммарной энергии $N$ испущенных фотонов. Так как излучение монохроматическое (состоит из фотонов одной частоты/длины волны), все фотоны имеют одинаковую энергию $E_{ph}$.

$E = N \cdot E_{ph}$

Энергия одного фотона $E_{ph}$ связана с длиной волны излучения $\lambda$ следующим соотношением:

$E_{ph} = \frac{h \cdot c}{\lambda}$

где $h$ — постоянная Планка, а $c$ — скорость света в вакууме.

Приравняем два выражения для полной энергии $E$:

$P \cdot \Delta t = N \cdot \frac{h \cdot c}{\lambda}$

Из этого уравнения выразим искомую длину волны $\lambda$:

$\lambda = \frac{N \cdot h \cdot c}{P \cdot \Delta t}$

Подставим числовые значения в полученную формулу:

$\lambda = \frac{8,0 \cdot 10^{21} \cdot 6,63 \cdot 10^{-34} \text{ Дж} \cdot \text{с} \cdot 3 \cdot 10^8 \text{ м/с}}{60 \text{ Вт} \cdot 60 \text{ с}}$

$\lambda = \frac{(8,0 \cdot 6,63 \cdot 3) \cdot 10^{21 - 34 + 8}}{3600} \frac{\text{Дж} \cdot \text{м}}{\text{Дж}} = \frac{159,12 \cdot 10^{-5}}{3600} \text{ м} \approx 0,0442 \cdot 10^{-5} \text{ м} = 4,42 \cdot 10^{-7} \text{ м}$

Для удобства результат можно перевести в нанометры ($1 \text{ нм} = 10^{-9} \text{ м}$):

$\lambda = 4,42 \cdot 10^{-7} \text{ м} = 442 \cdot 10^{-9} \text{ м} = 442 \text{ нм}$

Ответ: длина волны этого излучения равна $4,42 \cdot 10^{-7}$ м (или 442 нм).