Номер 758, страница 220 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

758. Рентгеновская трубка, работающая при напряжении $U = 66,3 \text{ кВ}$ и силе тока $I = 15,0 \text{ мА}$, излучает ежесекундно $N = 1,0 \cdot 10^{16}$ фотонов. Длина волны излучения, испускаемого трубкой, $\lambda = 1,0 \cdot 10^{-10} \text{ м}$. Определите КПД рентгеновской трубки.

Дано:

$U = 66,3 \text{ кВ} = 66,3 \cdot 10^3 \text{ В}$

$I = 15,0 \text{ мА} = 15,0 \cdot 10^{-3} \text{ А}$

$N = 1,0 \cdot 10^{16} \text{ с}^{-1}$ (количество фотонов в секунду)

$\lambda = 1,0 \cdot 10^{-10} \text{ м}$

Постоянная Планка $h \approx 6,63 \cdot 10^{-34} \text{ Дж}\cdot\text{с}$

Скорость света в вакууме $c \approx 3,0 \cdot 10^8 \text{ м/с}$

Найти:

КПД ($\eta$) - ?

Решение:

Коэффициент полезного действия (КПД) рентгеновской трубки определяется как отношение полезной мощности излучения $P_{полезн}$ к затраченной электрической мощности $P_{затр}$.

$\eta = \frac{P_{полезн}}{P_{затр}}$

Затраченная мощность — это мощность электрического тока, потребляемая трубкой:

$P_{затр} = U \cdot I$

Полезная мощность — это энергия всех фотонов, излучаемых трубкой за одну секунду. Энергия одного фотона вычисляется по формуле Планка:

$E_ф = \frac{h \cdot c}{\lambda}$

Так как трубка излучает $N$ фотонов в секунду, полезная мощность равна:

$P_{полезн} = N \cdot E_ф = N \frac{h \cdot c}{\lambda}$

Подставим выражения для мощностей в формулу для КПД:

$\eta = \frac{N \frac{h \cdot c}{\lambda}}{U \cdot I} = \frac{N \cdot h \cdot c}{U \cdot I \cdot \lambda}$

Теперь подставим числовые значения в полученную формулу:

$\eta = \frac{1,0 \cdot 10^{16} \cdot 6,63 \cdot 10^{-34} \text{ Дж}\cdot\text{с} \cdot 3,0 \cdot 10^8 \text{ м/с}}{66,3 \cdot 10^3 \text{ В} \cdot 15,0 \cdot 10^{-3} \text{ А} \cdot 1,0 \cdot 10^{-10} \text{ м}}$

Упростим выражение, заметив, что $66,3 = 10 \cdot 6,63$:

$\eta = \frac{10^{16} \cdot 6,63 \cdot 10^{-34} \cdot 3 \cdot 10^8}{10 \cdot 6,63 \cdot 10^3 \cdot 15 \cdot 10^{-3} \cdot 10^{-10}} = \frac{10^{16} \cdot 10^{-34} \cdot 3 \cdot 10^8}{10 \cdot 10^3 \cdot 15 \cdot 10^{-3} \cdot 10^{-10}}$

$\eta = \frac{3 \cdot 10^{16-34+8}}{150 \cdot 10^{3-3-10}} = \frac{3 \cdot 10^{-10}}{150 \cdot 10^{-10}} = \frac{3}{150} = \frac{1}{50} = 0,02$

Для выражения КПД в процентах, умножим полученное значение на 100%:

$\eta = 0,02 \cdot 100\% = 2\%$

Ответ: КПД рентгеновской трубки составляет 2%.