Номер 757, страница 220 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

757. Монохроматический источник света излучил $N = 2,7 \times 10^{19}$ фотонов, потребив при этом энергию $E = 1,0$ кДж. Определите длину световой волны, если КПД источника света $\eta = 1,0$ %.

Дано:

$N = 2,7 \times 10^{19}$

$E = 1,0$ кДж

$\eta = 1,0 \%$

Постоянная Планка $h \approx 6,63 \times 10^{-34}$ Дж·с

Скорость света в вакууме $c \approx 3 \times 10^8$ м/с

$E = 1,0 \text{ кДж} = 1,0 \times 10^3$ Дж
$\eta = 1,0 \% = 0,01$

Найти:

$\lambda$ - ?

Решение:

Коэффициент полезного действия (КПД) источника света определяется как отношение полезной энергии (энергии излученного света $E_{изл}$) к затраченной энергии ($E$):

$\eta = \frac{E_{изл}}{E}$

Отсюда можно выразить энергию, которая пошла на излучение света:

$E_{изл} = \eta \cdot E$

С другой стороны, энергия излученного света равна сумме энергий всех излучённых фотонов. Так как источник монохроматический, все фотоны имеют одинаковую энергию $E_ф$.

$E_{изл} = N \cdot E_ф$

Энергия одного фотона связана с длиной волны $\lambda$ соотношением:

$E_ф = \frac{hc}{\lambda}$

где $h$ — постоянная Планка, $c$ — скорость света.

Тогда полная энергия излучения:

$E_{изл} = N \frac{hc}{\lambda}$

Приравнивая два выражения для энергии излучения, получаем:

$\eta \cdot E = N \frac{hc}{\lambda}$

Из этого уравнения выразим искомую длину волны $\lambda$:

$\lambda = \frac{N h c}{\eta E}$

Подставим числовые значения в систему СИ:

$\lambda = \frac{2,7 \times 10^{19} \cdot 6,63 \times 10^{-34} \text{ Дж·с} \cdot 3 \times 10^8 \text{ м/с}}{0,01 \cdot 1,0 \times 10^3 \text{ Дж}}$

$\lambda = \frac{(2,7 \cdot 6,63 \cdot 3) \times 10^{19-34+8}}{10} \text{ м} = \frac{53,703 \times 10^{-7}}{10} \text{ м}$

$\lambda = 5,3703 \times 10^{-7} \text{ м}$

Округлим результат до двух значащих цифр, так как исходные данные ($2,7$, $1,0$, $1,0\%$) имеют две значащие цифры:

$\lambda \approx 5,4 \times 10^{-7} \text{ м}$

Это значение также можно выразить в нанометрах: $5,4 \times 10^{-7} \text{ м} = 540 \text{ нм}$.

Ответ: $5,4 \times 10^{-7}$ м.