Номер 799, страница 230 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

799. Красная граница фотоэффекта для материала фотокатода $v_{\text{min}} = 5,0 \cdot 10^{14}$ Гц. Фотокатод сначала освещают монохроматическим светом с частотой $v_1 = 6,0 \cdot 10^{14}$ Гц. Затем частоту света увеличивают, при этом максимальная скорость вылетающих из катода электронов возрастает в $n = 2,0$ раза. Определите, на сколько увеличили частоту света.

Дано:

Красная граница фотоэффекта $v_{min} = 5,0 \cdot 10^{14}$ Гц

Начальная частота света $v_1 = 6,0 \cdot 10^{14}$ Гц

Увеличение максимальной скорости электронов в $n = 2,0$ раза

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

На сколько увеличили частоту света, $\Delta v - ?$

Решение:

Для решения задачи воспользуемся уравнением Эйнштейна для фотоэффекта:

$h v = A_{вых} + E_k$

где $h$ — постоянная Планка, $v$ — частота падающего света, $A_{вых}$ — работа выхода электрона из материала, $E_k$ — максимальная кинетическая энергия фотоэлектрона.

Работа выхода связана с красной границей фотоэффекта $v_{min}$ соотношением:

$A_{вых} = h v_{min}$

Максимальная кинетическая энергия электрона выражается через его массу $m_e$ и максимальную скорость $v_{max}$:

$E_k = \frac{m_e v_{max}^2}{2}$

Запишем уравнение Эйнштейна для двух случаев.

1. При освещении светом с частотой $v_1$:

$h v_1 = h v_{min} + \frac{m_e v_{max1}^2}{2}$

где $v_{max1}$ — максимальная скорость электронов в первом случае.

2. При освещении светом с новой частотой $v_2$:

$h v_2 = h v_{min} + \frac{m_e v_{max2}^2}{2}$

где $v_{max2}$ — максимальная скорость электронов во втором случае. По условию, $v_{max2} = n \cdot v_{max1}$.

Подставим $v_{max2}$ во второе уравнение:

$h v_2 = h v_{min} + \frac{m_e (n \cdot v_{max1})^2}{2} = h v_{min} + n^2 \frac{m_e v_{max1}^2}{2}$

Из первого уравнения выразим максимальную кинетическую энергию в первом случае:

$\frac{m_e v_{max1}^2}{2} = h v_1 - h v_{min} = h(v_1 - v_{min})$

Теперь подставим это выражение во второе уравнение:

$h v_2 = h v_{min} + n^2 \cdot h(v_1 - v_{min})$

Разделим обе части уравнения на постоянную Планка $h$:

$v_2 = v_{min} + n^2 (v_1 - v_{min})$

Подставим числовые значения:

$v_2 = 5,0 \cdot 10^{14} + 2,0^2 \cdot (6,0 \cdot 10^{14} - 5,0 \cdot 10^{14})$

$v_2 = 5,0 \cdot 10^{14} + 4,0 \cdot (1,0 \cdot 10^{14})$

$v_2 = 5,0 \cdot 10^{14} + 4,0 \cdot 10^{14} = 9,0 \cdot 10^{14}$ Гц

Теперь найдем, на сколько увеличили частоту света:

$\Delta v = v_2 - v_1 = 9,0 \cdot 10^{14} \text{ Гц} - 6,0 \cdot 10^{14} \text{ Гц} = 3,0 \cdot 10^{14}$ Гц

Ответ: частоту света увеличили на $3,0 \cdot 10^{14}$ Гц.