Номер 797, страница 230 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

797. Поверхность металла поочередно освещают излучением с длинами волн $\lambda_1 = 350$ нм и $\lambda_2 = 540$ нм. При этом максимальные кинетические энергии фотоэлектронов, вылетающих из металла, отличаются в два раза. Определите работу выхода электрона из этого металла.

Дано:

$\lambda_1 = 350 \text{ нм}$

$\lambda_2 = 540 \text{ нм}$

Соотношение кинетических энергий: $\frac{K_{max,1}}{K_{max,2}} = 2$ или $\frac{K_{max,2}}{K_{max,1}} = 2$

Постоянная Планка $h \approx 6.63 \cdot 10^{-34} \text{ Дж} \cdot \text{с}$

Скорость света $c \approx 3 \cdot 10^8 \text{ м/с}$

$\lambda_1 = 350 \cdot 10^{-9} \text{ м}$

$\lambda_2 = 540 \cdot 10^{-9} \text{ м}$

Найти:

$A_{вых} - ?$

Решение:

Для решения задачи воспользуемся уравнением Эйнштейна для фотоэффекта, которое связывает энергию падающего фотона ($E$), работу выхода электрона из металла ($A_{вых}$) и максимальную кинетическую энергию вылетевшего фотоэлектрона ($K_{max}$):

$E = A_{вых} + K_{max}$

Энергия фотона вычисляется по формуле:

$E = \frac{hc}{\lambda}$

где $h$ – постоянная Планка, $c$ – скорость света, $\lambda$ – длина волны излучения.

Запишем уравнения Эйнштейна для двух случаев облучения металла:

1. При облучении светом с длиной волны $\lambda_1$:

$\frac{hc}{\lambda_1} = A_{вых} + K_{max,1}$ (1)

2. При облучении светом с длиной волны $\lambda_2$:

$\frac{hc}{\lambda_2} = A_{вых} + K_{max,2}$ (2)

Поскольку длина волны $\lambda_1 = 350 \text{ нм}$ меньше, чем $\lambda_2 = 540 \text{ нм}$, энергия фотонов в первом случае больше, чем во втором ($E_1 > E_2$). Следовательно, и максимальная кинетическая энергия фотоэлектронов в первом случае будет больше: $K_{max,1} > K_{max,2}$.

По условию задачи, энергии отличаются в два раза, значит:

$K_{max,1} = 2 \cdot K_{max,2}$

Выразим максимальные кинетические энергии из уравнений (1) и (2):

$K_{max,1} = \frac{hc}{\lambda_1} - A_{вых}$

$K_{max,2} = \frac{hc}{\lambda_2} - A_{вых}$

Подставим эти выражения в соотношение $K_{max,1} = 2 \cdot K_{max,2}$:

$\frac{hc}{\lambda_1} - A_{вых} = 2 \left( \frac{hc}{\lambda_2} - A_{вых} \right)$

Раскроем скобки и решим полученное уравнение относительно работы выхода $A_{вых}$:

$\frac{hc}{\lambda_1} - A_{вых} = \frac{2hc}{\lambda_2} - 2A_{вых}$

$2A_{вых} - A_{вых} = \frac{2hc}{\lambda_2} - \frac{hc}{\lambda_1}$

$A_{вых} = hc \left( \frac{2}{\lambda_2} - \frac{1}{\lambda_1} \right)$

Теперь подставим числовые значения и произведем вычисления:

$A_{вых} = 6.63 \cdot 10^{-34} \text{ Дж} \cdot \text{с} \cdot 3 \cdot 10^8 \frac{\text{м}}{\text{с}} \cdot \left( \frac{2}{540 \cdot 10^{-9} \text{ м}} - \frac{1}{350 \cdot 10^{-9} \text{ м}} \right)$

$A_{вых} = 1.989 \cdot 10^{-25} \text{ Дж} \cdot \text{м} \cdot \frac{1}{10^{-9} \text{ м}} \left( \frac{2}{540} - \frac{1}{350} \right)$

$A_{вых} = 1.989 \cdot 10^{-16} \cdot \left( \frac{1}{270} - \frac{1}{350} \right) \text{ Дж}$

Приведем дроби к общему знаменателю:

$A_{вых} = 1.989 \cdot 10^{-16} \cdot \left( \frac{350 - 270}{270 \cdot 350} \right) \text{ Дж}$

$A_{вых} = 1.989 \cdot 10^{-16} \cdot \left( \frac{80}{94500} \right) \text{ Дж}$

$A_{вых} \approx 1.989 \cdot 10^{-16} \cdot 8.4656 \cdot 10^{-4} \text{ Дж}$

$A_{вых} \approx 1.6838 \cdot 10^{-19} \text{ Дж}$

Округлим результат до трех значащих цифр:

$A_{вых} \approx 1.68 \cdot 10^{-19} \text{ Дж}$

Ответ:

Работа выхода электрона из этого металла равна $1.68 \cdot 10^{-19} \text{ Дж}$.