Номер 792, страница 229 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

792. *Фотоны, модуль импульса которых $p = 2,67 \cdot 10^{-27} \frac{\text{кг} \cdot \text{м}}{\text{с}}$, выбивают фотоэлектроны из металла. Во сколько раз максимальный модуль импульса фотоэлектрона больше модуля импульса фотона? Работа выхода электрона из данного металла $A_{\text{вых}} = 2,0 \text{ эВ}.$

Дано:

Модуль импульса фотона $p_{ф} = 2,67 \cdot 10^{-27} \frac{кг \cdot м}{с}$

Работа выхода электрона $A_{вых} = 2,0$ эВ

Переведем работу выхода в систему СИ (Джоули):

$A_{вых} = 2,0 \text{ эВ} \cdot 1,6 \cdot 10^{-19} \frac{Дж}{эВ} = 3,2 \cdot 10^{-19}$ Дж

Постоянные величины:

Скорость света в вакууме $c \approx 3 \cdot 10^8$ м/с

Масса электрона $m_e \approx 9,11 \cdot 10^{-31}$ кг

Найти:

Отношение максимального модуля импульса фотоэлектрона к модулю импульса фотона: $\frac{p_{е, max}}{p_{ф}}$

Решение:

1. Запишем уравнение Эйнштейна для фотоэффекта:

$E_ф = A_{вых} + K_{е, max}$

где $E_ф$ — энергия падающего фотона, $A_{вых}$ — работа выхода электрона из металла, $K_{е, max}$ — максимальная кинетическая энергия фотоэлектрона.

2. Энергия фотона связана с его импульсом соотношением:

$E_ф = p_ф \cdot c$

Вычислим энергию фотона:

$E_ф = 2,67 \cdot 10^{-27} \frac{кг \cdot м}{с} \cdot 3 \cdot 10^8 \frac{м}{с} = 8,01 \cdot 10^{-19}$ Дж

3. Найдем максимальную кинетическую энергию фотоэлектрона из уравнения Эйнштейна:

$K_{е, max} = E_ф - A_{вых}$

$K_{е, max} = 8,01 \cdot 10^{-19} \text{ Дж} - 3,2 \cdot 10^{-19} \text{ Дж} = 4,81 \cdot 10^{-19}$ Дж

4. Максимальная кинетическая энергия электрона связана с его максимальным импульсом $p_{е, max}$ следующим соотношением (в нерелятивистском случае, который здесь применим, так как $K_{е, max}$ много меньше энергии покоя электрона $m_e c^2 \approx 8,2 \cdot 10^{-14}$ Дж):

$K_{е, max} = \frac{p_{е, max}^2}{2m_e}$

Отсюда выразим максимальный импульс фотоэлектрона:

$p_{е, max} = \sqrt{2m_e K_{е, max}}$

Подставим значения и вычислим:

$p_{е, max} = \sqrt{2 \cdot 9,11 \cdot 10^{-31} \text{ кг} \cdot 4,81 \cdot 10^{-19} \text{ Дж}} = \sqrt{87,64 \cdot 10^{-50}} \frac{кг \cdot м}{с} \approx 9,36 \cdot 10^{-25} \frac{кг \cdot м}{с}$

5. Теперь найдем искомое отношение:

$\frac{p_{е, max}}{p_{ф}} = \frac{9,36 \cdot 10^{-25} \frac{кг \cdot м}{с}}{2,67 \cdot 10^{-27} \frac{кг \cdot м}{с}} = \frac{9,36}{2,67} \cdot 10^2 \approx 350,56$

Округляя до целого числа, получаем 351.

Ответ: Максимальный модуль импульса фотоэлектрона больше модуля импульса фотона примерно в 351 раз.