Номер 788, страница 228 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

788. Определите длину волны излучения, падающего на поверхность, покрытую цезием, если модуль максимальной скорости электронов, вылетающих из цезия, $v_{\text{max}} = 2,0 \cdot 10^6 \frac{\text{М}}{\text{с}}$. Красная граница фотоэффекта для цезия $\lambda_{\text{max}} = 690 \text{ нм}. $

Дано:

Максимальная скорость электронов, $v_{max} = 2,0 \cdot 10^6 \frac{м}{с}$

Красная граница фотоэффекта для цезия, $\lambda_{max} = 690 \text{ нм} = 6,90 \cdot 10^{-7} \text{ м}$

Постоянная Планка, $h \approx 6,63 \cdot 10^{-34} \text{ Дж} \cdot \text{с}$

Скорость света в вакууме, $c \approx 3,0 \cdot 10^8 \frac{м}{с}$

Масса электрона, $m_e \approx 9,1 \cdot 10^{-31} \text{ кг}$

Найти:

Длину волны падающего излучения, $\lambda$

Решение:

Задача решается с помощью уравнения Эйнштейна для фотоэлектрического эффекта:

$E_{ф} = A_{вых} + E_{к,max}$

где $E_{ф}$ — энергия падающего фотона, $A_{вых}$ — работа выхода электрона из металла, а $E_{к,max}$ — максимальная кинетическая энергия фотоэлектрона.

Энергия фотона связана с длиной волны $\lambda$ соотношением:

$E_{ф} = \frac{hc}{\lambda}$

Работа выхода определяется красной границей фотоэффекта $\lambda_{max}$:

$A_{вых} = \frac{hc}{\lambda_{max}}$

Максимальная кинетическая энергия электрона вычисляется по формуле:

$E_{к,max} = \frac{m_e v_{max}^2}{2}$

Подставив все выражения в уравнение Эйнштейна, получим:

$\frac{hc}{\lambda} = \frac{hc}{\lambda_{max}} + \frac{m_e v_{max}^2}{2}$

Для нахождения $\lambda$ сначала вычислим значения работы выхода и кинетической энергии.

1. Рассчитаем работу выхода для цезия:

$A_{вых} = \frac{6,63 \cdot 10^{-34} \text{ Дж} \cdot \text{с} \cdot 3,0 \cdot 10^8 \frac{м}{с}}{6,90 \cdot 10^{-7} \text{ м}} = \frac{19,89 \cdot 10^{-26}}{6,90 \cdot 10^{-7}} \text{ Дж} \approx 2,883 \cdot 10^{-19} \text{ Дж}$

2. Рассчитаем максимальную кинетическую энергию электронов:

$E_{к,max} = \frac{9,1 \cdot 10^{-31} \text{ кг} \cdot (2,0 \cdot 10^6 \frac{м}{с})^2}{2} = \frac{9,1 \cdot 10^{-31} \text{ кг} \cdot 4,0 \cdot 10^{12} \frac{м^2}{с^2}}{2} = 1,82 \cdot 10^{-18} \text{ Дж}$

3. Найдем энергию падающих фотонов, сложив работу выхода и кинетическую энергию:

$E_{ф} = A_{вых} + E_{к,max} \approx 2,883 \cdot 10^{-19} \text{ Дж} + 1,82 \cdot 10^{-18} \text{ Дж}$

$E_{ф} \approx 0,2883 \cdot 10^{-18} \text{ Дж} + 1,82 \cdot 10^{-18} \text{ Дж} \approx 2,108 \cdot 10^{-18} \text{ Дж}$

4. Теперь определим искомую длину волны падающего излучения:

$\lambda = \frac{hc}{E_{ф}} \approx \frac{6,63 \cdot 10^{-34} \text{ Дж} \cdot \text{с} \cdot 3,0 \cdot 10^8 \frac{м}{с}}{2,108 \cdot 10^{-18} \text{ Дж}} = \frac{19,89 \cdot 10^{-26}}{2,108 \cdot 10^{-18}} \text{ м} \approx 9,435 \cdot 10^{-8} \text{ м}$

Переведем метры в нанометры ($1 \text{ нм} = 10^{-9} \text{ м}$):

$\lambda \approx 9,435 \cdot 10^{-8} \text{ м} = 94,35 \text{ нм}$

Округлим результат до трех значащих цифр.

Ответ: $\lambda \approx 94,4 \text{ нм}$.