Номер 789, страница 229 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

789. Определите модуль максимальной скорости фотоэлектронов, покидающих поверхность натрия при облучении его светом с частотой $v = 4,5 \cdot 10^{15}$ Гц. Красная граница фотоэффекта для натрия $\lambda_{\text{max}} = 5,5 \cdot 10^{-7}$ м.

Дано:

Частота падающего света, $ν = 4,5 \cdot 10^{15}$ Гц

Красная граница фотоэффекта для натрия, $λ_{max} = 5,5 \cdot 10^{-7}$ м

Справочные данные:

Постоянная Планка, $h \approx 6,63 \cdot 10^{-34}$ Дж·с

Скорость света в вакууме, $c \approx 3 \cdot 10^8$ м/с

Масса электрона, $m_e \approx 9,1 \cdot 10^{-31}$ кг

Все данные уже представлены в системе СИ.

Найти:

Максимальную скорость фотоэлектронов, $v_{max}$

Решение:

Для решения задачи используется уравнение Эйнштейна для фотоэффекта, которое гласит, что энергия падающего фотона ($E_{ф}$) расходуется на работу выхода электрона из металла ($A_{вых}$) и на сообщение ему максимальной кинетической энергии ($E_{к,max}$):

$E_{ф} = A_{вых} + E_{к,max}$

Энергия падающего фотона связана с его частотой $ν$ следующим образом:

$E_{ф} = hν$

Работа выхода — это минимальная энергия, необходимая для вырывания электрона с поверхности металла. Она определяется красной границей фотоэффекта, то есть максимальной длиной волны $λ_{max}$, при которой фотоэффект еще наблюдается:

$A_{вых} = \frac{hc}{λ_{max}}$

Максимальная кинетическая энергия фотоэлектрона зависит от его массы $m_e$ и максимальной скорости $v_{max}$:

$E_{к,max} = \frac{m_e v_{max}^2}{2}$

Объединим все эти формулы в одно уравнение:

$hν = \frac{hc}{λ_{max}} + \frac{m_e v_{max}^2}{2}$

Из этого уравнения выразим максимальную кинетическую энергию:

$\frac{m_e v_{max}^2}{2} = hν - \frac{hc}{λ_{max}}$

Далее выразим искомую максимальную скорость фотоэлектронов $v_{max}$:

$v_{max}^2 = \frac{2}{m_e} \left( hν - \frac{hc}{λ_{max}} \right) = \frac{2h}{m_e} \left( ν - \frac{c}{λ_{max}} \right)$

$v_{max} = \sqrt{\frac{2h}{m_e} \left( ν - \frac{c}{λ_{max}} \right)}$

Теперь подставим числовые значения в полученную формулу.

Сначала вычислим работу выхода $A_{вых}$:

$A_{вых} = \frac{6,63 \cdot 10^{-34} \text{ Дж·с} \cdot 3 \cdot 10^8 \text{ м/с}}{5,5 \cdot 10^{-7} \text{ м}} \approx 3,616 \cdot 10^{-19}$ Дж

Затем вычислим энергию падающих фотонов $E_{ф}$:

$E_{ф} = 6,63 \cdot 10^{-34} \text{ Дж·с} \cdot 4,5 \cdot 10^{15} \text{ Гц} \approx 29,835 \cdot 10^{-19}$ Дж

Найдем максимальную кинетическую энергию электронов:

$E_{к,max} = E_{ф} - A_{вых} = 29,835 \cdot 10^{-19} \text{ Дж} - 3,616 \cdot 10^{-19} \text{ Дж} = 26,219 \cdot 10^{-19}$ Дж

Наконец, рассчитаем максимальную скорость:

$v_{max} = \sqrt{\frac{2E_{к,max}}{m_e}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 26,219 \cdot 10^{-19} \text{ Дж}}{9,1 \cdot 10^{-31} \text{ кг}}} = \sqrt{\frac{52,438 \cdot 10^{-19}}{9,1 \cdot 10^{-31}}} \approx \sqrt{5,762 \cdot 10^{12}}$ м/с

$v_{max} \approx 2,4 \cdot 10^6$ м/с

Ответ: модуль максимальной скорости фотоэлектронов составляет примерно $2,4 \cdot 10^6$ м/с.