Номер 790, страница 229 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

790. *Определите модуль максимальной скорости фотоэлектронов, вылетающих с поверхности металла под действием электромагнитного излучения с длиной волны $\lambda = 2,0$ пм. Работу выхода электрона с поверхности металла считайте пренебрежимо малой.

Дано:

Длина волны электромагнитного излучения, $\lambda = 2,0 \text{ пм}$

Работа выхода электрона, $A_{вых} \approx 0$

Перевод в систему СИ:

$\lambda = 2,0 \cdot 10^{-12} \text{ м}$

$A_{вых} = 0 \text{ Дж}$

Справочные данные:

Постоянная Планка, $h \approx 6,63 \cdot 10^{-34} \text{ Дж} \cdot \text{с}$

Скорость света в вакууме, $c \approx 3,00 \cdot 10^8 \text{ м/с}$

Масса покоя электрона, $m_e \approx 9,11 \cdot 10^{-31} \text{ кг}$

Найти:

$v_{max}$ – модуль максимальной скорости фотоэлектронов.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся уравнением Эйнштейна для фотоэффекта:

$E_{ф} = A_{вых} + E_{k_{max}}$

где $E_{ф}$ – энергия падающего фотона, $A_{вых}$ – работа выхода электрона, $E_{k_{max}}$ – максимальная кинетическая энергия фотоэлектрона.

Энергия фотона связана с длиной волны излучения $\lambda$ соотношением:

$E_{ф} = \frac{hc}{\lambda}$

По условию, работой выхода можно пренебречь ($A_{вых} \approx 0$), поэтому вся энергия фотона передается электрону в виде кинетической энергии:

$E_{k_{max}} = E_{ф} = \frac{hc}{\lambda}$

Предположим сначала, что скорость электрона мала по сравнению со скоростью света, и используем классическую формулу для кинетической энергии:

$E_{k_{max}} = \frac{m_e v_{max}^2}{2}$

Приравняв выражения, получим:

$\frac{m_e v_{max}^2}{2} = \frac{hc}{\lambda}$

Отсюда выразим скорость $v_{max}$:

$v_{max} = \sqrt{\frac{2hc}{m_e \lambda}}$

Подставим числовые значения:

$v_{max} = \sqrt{\frac{2 \cdot 6,63 \cdot 10^{-34} \cdot 3,00 \cdot 10^8}{9,11 \cdot 10^{-31} \cdot 2,0 \cdot 10^{-12}}} \approx \sqrt{\frac{3,978 \cdot 10^{-25}}{1,822 \cdot 10^{-42}}} \approx \sqrt{2,18 \cdot 10^{17}} \approx 4,7 \cdot 10^8 \text{ м/с}$

Полученное значение скорости $4,7 \cdot 10^8$ м/с превышает скорость света в вакууме $c \approx 3,00 \cdot 10^8$ м/с. Это физически невозможно и указывает на то, что скорости фотоэлектронов являются релятивистскими, и для расчета необходимо использовать релятивистскую формулу для кинетической энергии:

$E_{k_{max}} = (\gamma - 1)m_e c^2$

где $\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v_{max}^2/c^2}}$ – лоренц-фактор.

Тогда уравнение фотоэффекта принимает вид:

$\frac{hc}{\lambda} = (\gamma - 1)m_e c^2$

Выразим из этого уравнения лоренц-фактор:

$\gamma - 1 = \frac{hс}{\lambda m_e c^2} = \frac{h}{m_e c \lambda}$

$\gamma = 1 + \frac{h}{m_e c \lambda}$

Вычислим значение $\gamma$:

$\gamma = 1 + \frac{6,63 \cdot 10^{-34}}{9,11 \cdot 10^{-31} \cdot 3,00 \cdot 10^8 \cdot 2,0 \cdot 10^{-12}} \approx 1 + \frac{6,63 \cdot 10^{-34}}{5,466 \cdot 10^{-34}} \approx 1 + 1,213 = 2,213$

Теперь из определения лоренц-фактора найдем скорость $v_{max}$:

$\gamma^2 = \frac{1}{1 - v_{max}^2/c^2} \implies 1 - \frac{v_{max}^2}{c^2} = \frac{1}{\gamma^2}$

$\frac{v_{max}^2}{c^2} = 1 - \frac{1}{\gamma^2} \implies v_{max} = c \sqrt{1 - \frac{1}{\gamma^2}}$

Подставим вычисленное значение $\gamma$:

$v_{max} = c \sqrt{1 - \frac{1}{2,213^2}} = c \sqrt{1 - \frac{1}{4,897}} \approx c \sqrt{1 - 0,2042} = c \sqrt{0,7958}$

$v_{max} \approx 0,892 \cdot c = 0,892 \cdot 3,00 \cdot 10^8 \text{ м/с} \approx 2,676 \cdot 10^8 \text{ м/с}$

Округлим результат до двух значащих цифр, в соответствии с точностью исходных данных:

$v_{max} \approx 2,7 \cdot 10^8 \text{ м/с}$

Ответ: модуль максимальной скорости фотоэлектронов равен $2,7 \cdot 10^8 \text{ м/с}$.