Номер 800, страница 230 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

800. Длина волны, соответствующая красной границе фотоэффекта для металла фотокатода $\lambda_{\text{max}} = 700 \text{ нм}$. Фотокатод освещают монохроматическим светом с длиной волны $\lambda_1 = 600 \text{ нм}$, а затем — с длиной волны $\lambda_2$. При этом отношение максимальных скоростей электронов, вылетающих из катода, $\frac{v_1}{v_2} = \frac{3}{4}$. Определите $\lambda_2$.

Дано:

$λ_{max} = 700 \text{ нм} = 700 \cdot 10^{-9} \text{ м} = 7 \cdot 10^{-7} \text{ м}$

$λ_1 = 600 \text{ нм} = 600 \cdot 10^{-9} \text{ м} = 6 \cdot 10^{-7} \text{ м}$

$\frac{v_1}{v_2} = \frac{3}{4}$

Найти:

$λ_2$

Решение:

Для решения задачи воспользуемся уравнением Эйнштейна для фотоэффекта:

$E_{ф} = A_{вых} + E_к$

где $E_{ф}$ — энергия падающего фотона, $A_{вых}$ — работа выхода электрона из металла, $E_к$ — максимальная кинетическая энергия фотоэлектрона.

Энергия фотона связана с длиной волны света $λ$ соотношением $E_{ф} = \frac{hc}{\lambda}$, где $h$ — постоянная Планка, $c$ — скорость света.

Работа выхода определяется красной границей фотоэффекта $λ_{max}$: $A_{вых} = \frac{hc}{\lambda_{max}}$.

Максимальная кинетическая энергия электрона равна $E_к = \frac{m_e v^2}{2}$, где $m_e$ — масса электрона, $v$ — его максимальная скорость.

Тогда уравнение Эйнштейна можно записать в виде:

$\frac{hc}{\lambda} = \frac{hc}{\lambda_{max}} + \frac{m_e v^2}{2}$

Отсюда максимальная кинетическая энергия фотоэлектрона равна:

$E_к = \frac{m_e v^2}{2} = hc \left( \frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda_{max}} \right)$

Запишем это уравнение для двух случаев, описанных в условии задачи.

1. При освещении светом с длиной волны $λ_1 = 600 \text{ нм}$:

$E_{к1} = \frac{m_e v_1^2}{2} = hc \left( \frac{1}{\lambda_1} - \frac{1}{\lambda_{max}} \right)$

2. При освещении светом с длиной волны $λ_2$:

$E_{к2} = \frac{m_e v_2^2}{2} = hc \left( \frac{1}{\lambda_2} - \frac{1}{\lambda_{max}} \right)$

Найдем отношение максимальных кинетических энергий:

$\frac{E_{к1}}{E_{к2}} = \frac{\frac{m_e v_1^2}{2}}{\frac{m_e v_2^2}{2}} = \left( \frac{v_1}{v_2} \right)^2$

Подставим известное отношение скоростей:

$\frac{E_{к1}}{E_{к2}} = \left( \frac{3}{4} \right)^2 = \frac{9}{16}$

Теперь составим отношение выражений для кинетических энергий из уравнений фотоэффекта:

$\frac{E_{к1}}{E_{к2}} = \frac{hc \left( \frac{1}{\lambda_1} - \frac{1}{\lambda_{max}} \right)}{hc \left( \frac{1}{\lambda_2} - \frac{1}{\lambda_{max}} \right)} = \frac{\frac{1}{\lambda_1} - \frac{1}{\lambda_{max}}}{\frac{1}{\lambda_2} - \frac{1}{\lambda_{max}}}$

Приравняем полученные выражения для отношения энергий:

$\frac{9}{16} = \frac{\frac{1}{\lambda_1} - \frac{1}{\lambda_{max}}}{\frac{1}{\lambda_2} - \frac{1}{\lambda_{max}}}$

Подставим известные значения длин волн $λ_1 = 600 \text{ нм}$ и $λ_{max} = 700 \text{ нм}$ (можно не переводить в СИ, так как единицы измерения сократятся):

$\frac{9}{16} = \frac{\frac{1}{600} - \frac{1}{700}}{\frac{1}{\lambda_2} - \frac{1}{700}}$

Вычислим числитель правой части:

$\frac{1}{600} - \frac{1}{700} = \frac{7 - 6}{4200} = \frac{1}{4200}$

Теперь уравнение имеет вид:

$\frac{9}{16} = \frac{\frac{1}{4200}}{\frac{1}{\lambda_2} - \frac{1}{700}}$

Выразим знаменатель правой части:

$\frac{1}{\lambda_2} - \frac{1}{700} = \frac{16}{9} \cdot \frac{1}{4200} = \frac{16}{37800}$

Выразим $\frac{1}{\lambda_2}$:

$\frac{1}{\lambda_2} = \frac{16}{37800} + \frac{1}{700}$

Приведем дроби к общему знаменателю $37800 = 700 \cdot 54$:

$\frac{1}{\lambda_2} = \frac{16}{37800} + \frac{54}{37800} = \frac{16 + 54}{37800} = \frac{70}{37800}$

Сократим дробь:

$\frac{1}{\lambda_2} = \frac{7}{3780} = \frac{1}{540}$

Отсюда находим $λ_2$:

$λ_2 = 540 \text{ нм}$

Ответ: $λ_2 = 540 \text{ нм}$.