Номер 802, страница 231 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

802. При освещении катода фотоэлемента светом с длиной волны $\lambda = 360$ нм задерживающее напряжение $\vert U_3 \vert = 1,47$ В. Определите максимальную длину световой волны, при которой будет наблюдаться фотоэффект.

Дано:

Длина волны света, $\lambda = 360$ нм

Задерживающее напряжение, $|U_з| = 1,47$ В

Постоянная Планка, $h \approx 6,63 \cdot 10^{-34}$ Дж·с

Скорость света в вакууме, $c \approx 3 \cdot 10^8$ м/с

Элементарный заряд, $e \approx 1,6 \cdot 10^{-19}$ Кл

Перевод в систему СИ:

$\lambda = 360 \text{ нм} = 360 \cdot 10^{-9} \text{ м} = 3,6 \cdot 10^{-7}$ м

Найти:

Максимальную длину волны, при которой будет наблюдаться фотоэффект, $\lambda_{max}$

Решение:

Для решения задачи воспользуемся уравнением Эйнштейна для фотоэффекта:

$E_{ф} = A_{вых} + E_{k_{max}}$

где $E_{ф}$ — энергия падающего фотона, $A_{вых}$ — работа выхода электрона из металла, $E_{k_{max}}$ — максимальная кинетическая энергия фотоэлектрона.

Энергия фотона определяется формулой:

$E_{ф} = \frac{hc}{\lambda}$

Максимальная кинетическая энергия фотоэлектронов связана с задерживающим напряжением соотношением:

$E_{k_{max}} = e|U_з|$

Подставив эти выражения в уравнение Эйнштейна, получим:

$\frac{hc}{\lambda} = A_{вых} + e|U_з|$

Из этого уравнения мы можем найти работу выхода $A_{вых}$ для материала катода:

$A_{вых} = \frac{hc}{\lambda} - e|U_з|$

Максимальная длина волны $\lambda_{max}$, при которой еще возможен фотоэффект (так называемая "красная граница" фотоэффекта), соответствует случаю, когда энергии фотона хватает только на то, чтобы вырвать электрон с поверхности металла, а его кинетическая энергия равна нулю ($E_{k_{max}} = 0$). В этом случае энергия фотона равна работе выхода:

$A_{вых} = \frac{hc}{\lambda_{max}}$

Теперь мы можем приравнять два выражения для работы выхода и найти из полученного уравнения $\lambda_{max}$:

$\frac{hc}{\lambda_{max}} = \frac{hc}{\lambda} - e|U_з|$

Выразим $\frac{1}{\lambda_{max}}$:

$\frac{1}{\lambda_{max}} = \frac{1}{\lambda} - \frac{e|U_з|}{hc} = \frac{hc - e|U_з|\lambda}{hc\lambda}$

Отсюда находим $\lambda_{max}$:

$\lambda_{max} = \frac{hc\lambda}{hc - e|U_з|\lambda}$

Подставим числовые значения в систему СИ и произведем вычисления:

$\lambda_{max} = \frac{(6,63 \cdot 10^{-34} \text{ Дж·с}) \cdot (3 \cdot 10^8 \text{ м/с}) \cdot (3,6 \cdot 10^{-7} \text{ м})}{(6,63 \cdot 10^{-34} \text{ Дж·с}) \cdot (3 \cdot 10^8 \text{ м/с}) - (1,6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл}) \cdot (1,47 \text{ В}) \cdot (3,6 \cdot 10^{-7} \text{ м})}$

$\lambda_{max} = \frac{7,1604 \cdot 10^{-32}}{1,989 \cdot 10^{-25} - 0,84672 \cdot 10^{-25}} = \frac{7,1604 \cdot 10^{-32}}{1,14228 \cdot 10^{-25}} \approx 0,6268 \cdot 10^{-6}$ м

$\lambda_{max} \approx 6,27 \cdot 10^{-7}$ м

Переведем результат в нанометры:

$\lambda_{max} = 6,27 \cdot 10^{-7} \text{ м} = 627$ нм

Ответ: $627$ нм.