Номер 801, страница 231 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

801. При поочередном освещении поверхности металла излучением с длинами волн $\lambda_1 = 350 \text{ нм}$ и $\lambda_2 = 450 \text{ нм}$ максимальные скорости фотоэлектронов, вылетающих из металла, отличаются в два раза. Определите работу выхода электрона из этого металла (в эВ).

Дано:

Длина волны первого излучения: $\lambda_1 = 350 \text{ нм}$

Длина волны второго излучения: $\lambda_2 = 450 \text{ нм}$

Соотношение максимальных скоростей фотоэлектронов: максимальные скорости отличаются в два раза.

Перевод в систему СИ:

$\lambda_1 = 350 \times 10^{-9} \text{ м}$

$\lambda_2 = 450 \times 10^{-9} \text{ м}$

Найти:

Работу выхода электрона $A_{вых}$ (в эВ).

Решение:

Для решения задачи используется уравнение Эйнштейна для фотоэффекта:

$E_{ф} = A_{вых} + E_{к,макс}$

где $E_{ф}$ – энергия падающего фотона ($E_{ф} = \frac{hc}{\lambda}$), $A_{вых}$ – работа выхода электрона, а $E_{к,макс}$ – максимальная кинетическая энергия фотоэлектрона ($E_{к,макс} = \frac{m_e v_{макс}^2}{2}$).

Запишем уравнения Эйнштейна для двух случаев освещения:

1. Для длины волны $\lambda_1$: $\frac{hc}{\lambda_1} = A_{вых} + \frac{m_e v_1^2}{2}$

2. Для длины волны $\lambda_2$: $\frac{hc}{\lambda_2} = A_{вых} + \frac{m_e v_2^2}{2}$

Из условия задачи известно, что максимальные скорости отличаются в два раза. Так как длина волны $\lambda_1$ меньше, чем $\lambda_2$ ($\lambda_1 < \lambda_2$), энергия фотонов в первом случае больше ($E_1 > E_2$). Это приводит к большей кинетической энергии и, следовательно, большей максимальной скорости фотоэлектронов. Таким образом, $v_1 = 2v_2$.

Найдем соотношение между максимальными кинетическими энергиями:

$E_{к1} = \frac{m_e v_1^2}{2} = \frac{m_e (2v_2)^2}{2} = 4 \left( \frac{m_e v_2^2}{2} \right) = 4E_{к2}$

Теперь мы имеем систему из двух уравнений:

$\frac{hc}{\lambda_1} = A_{вых} + 4E_{к2}$

$\frac{hc}{\lambda_2} = A_{вых} + E_{к2}$

Выразим $E_{к2}$ из второго уравнения: $E_{к2} = \frac{hc}{\lambda_2} - A_{вых}$.

Подставим это выражение в первое уравнение:

$\frac{hc}{\lambda_1} = A_{вых} + 4 \left( \frac{hc}{\lambda_2} - A_{вых} \right)$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $A_{вых}$:

$\frac{hc}{\lambda_1} = A_{вых} + \frac{4hc}{\lambda_2} - 4A_{вых}$

$\frac{hc}{\lambda_1} = \frac{4hc}{\lambda_2} - 3A_{вых}$

$3A_{вых} = \frac{4hc}{\lambda_2} - \frac{hc}{\lambda_1}$

$A_{вых} = \frac{hc}{3} \left( \frac{4}{\lambda_2} - \frac{1}{\lambda_1} \right)$

Для удобства вычислений и получения ответа сразу в электрон-вольтах (эВ) используем значение произведения $hc \approx 1240 \text{ эВ} \cdot \text{нм}$ и подставим длины волн в нанометрах (нм).

$A_{вых} = \frac{1240 \text{ эВ} \cdot \text{нм}}{3} \left( \frac{4}{450 \text{ нм}} - \frac{1}{350 \text{ нм}} \right)$

Приведем дроби в скобках к общему знаменателю $450 \cdot 350 = 157500$:

$A_{вых} = \frac{1240}{3} \left( \frac{4 \cdot 350 - 1 \cdot 450}{450 \cdot 350} \right) \text{ эВ}$

$A_{вых} = \frac{1240}{3} \left( \frac{1400 - 450}{157500} \right) \text{ эВ} = \frac{1240}{3} \left( \frac{950}{157500} \right) \text{ эВ}$

$A_{вых} = \frac{1240 \cdot 950}{3 \cdot 157500} \text{ эВ} = \frac{1178000}{472500} \text{ эВ} \approx 2.4931 \text{ эВ}$

Округляя результат до десятых, получаем:

$A_{вых} \approx 2.5 \text{ эВ}$

Ответ: $2.5 \text{ эВ}$.