Номер 811, страница 232 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

811. При увеличении частоты света, падающего на металлический фотокатод, в два раза задерживающее напряжение увеличилось в три раза. Начальная частота света $v = 1{,}2 \cdot 10^{15}$ Гц. Определите длину волны, соответствующую красной границе фотоэффекта для этого металла.

Дано:

$ν_1 = 1,2 \cdot 10^{15}$ Гц
$ν_2 = 2ν_1$
$U_{з2} = 3U_{з1}$
$c \approx 3 \cdot 10^8$ м/с (скорость света в вакууме)

Все величины даны в системе СИ.

Найти:

$\lambda_{кр}$ - ?

Решение:

Для решения задачи используется уравнение Эйнштейна для фотоэффекта: $E_k = h\nu - A_{вых}$, где $E_k$ — максимальная кинетическая энергия фотоэлектронов, $h$ — постоянная Планка, $\nu$ — частота падающего света, $A_{вых}$ — работа выхода электрона из металла.

Максимальная кинетическая энергия фотоэлектронов связана с задерживающим напряжением $U_з$ соотношением: $E_k = eU_з$, где $e$ — элементарный заряд.

Объединив два уравнения, получим: $eU_з = h\nu - A_{вых}$.

Запишем систему уравнений для двух состояний, описанных в условии задачи.

1. Для начальной частоты света $\nu_1$ и соответствующего задерживающего напряжения $U_{з1}$: $eU_{з1} = h\nu_1 - A_{вых}$ (1)

2. Для увеличенной в два раза частоты $\nu_2 = 2\nu_1$ и увеличенного в три раза задерживающего напряжения $U_{з2} = 3U_{з1}$: $eU_{з2} = h\nu_2 - A_{вых}$
$e(3U_{з1}) = h(2\nu_1) - A_{вых}$
$3eU_{з1} = 2h\nu_1 - A_{вых}$ (2)

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными: $U_{з1}$ и $A_{вых}$. Наша цель — найти работу выхода $A_{вых}$. Из уравнения (1) выразим величину $eU_{з1}$: $eU_{з1} = h\nu_1 - A_{вых}$.

Теперь подставим это выражение в уравнение (2): $3(h\nu_1 - A_{вых}) = 2h\nu_1 - A_{вых}$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $A_{вых}$: $3h\nu_1 - 3A_{вых} = 2h\nu_1 - A_{вых}$
$3h\nu_1 - 2h\nu_1 = 3A_{вых} - A_{вых}$
$h\nu_1 = 2A_{вых}$
$A_{вых} = \frac{h\nu_1}{2}$

Работа выхода $A_{вых}$ определяет красную границу фотоэффекта — минимальную частоту $\nu_{кр}$ или максимальную длину волны $\lambda_{кр}$ света, при которой еще возможен фотоэффект. Связь между ними следующая: $A_{вых} = h\nu_{кр} = \frac{hc}{\lambda_{кр}}$, где $c$ — скорость света в вакууме.

Приравняем полученное нами выражение для работы выхода с ее определением через красную границу: $\frac{h\nu_1}{2} = \frac{hc}{\lambda_{кр}}$

Сократим обе части уравнения на постоянную Планка $h$: $\frac{\nu_1}{2} = \frac{c}{\lambda_{кр}}$

Выразим искомую длину волны $\lambda_{кр}$: $\lambda_{кр} = \frac{2c}{\nu_1}$

Подставим числовые значения и произведем расчет: $\lambda_{кр} = \frac{2 \cdot 3 \cdot 10^8 \text{ м/с}}{1,2 \cdot 10^{15} \text{ Гц}} = \frac{6 \cdot 10^8}{1,2 \cdot 10^{15}} \text{ м} = 5 \cdot 10^{-7} \text{ м}$

Результат можно представить в нанометрах: $5 \cdot 10^{-7} \text{ м} = 500 \text{ нм}$.

Ответ: длина волны, соответствующая красной границе фотоэффекта, равна $5 \cdot 10^{-7}$ м (или 500 нм).