Номер 816, страница 233 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

816. *При освещении металлического шарика желтым светом с длиной волны $\lambda_1 = 600 \text{ нм}$ он зарядился до потенциала $\phi_1 = 1,2 \text{ В}$. До какого потенциала может зарядиться шарик при освещении его фиолетовым светом с длиной волны $\lambda_2 = 400 \text{ нм}$?

Дано:

Длина волны желтого света $λ_1 = 600$ нм

Потенциал шарика при освещении желтым светом $φ_1 = 1,2$ В

Длина волны фиолетового света $λ_2 = 400$ нм

Перевод в систему СИ:

$λ_1 = 600 \cdot 10^{-9}$ м

$λ_2 = 400 \cdot 10^{-9}$ м

Найти:

Потенциал шарика при освещении фиолетовым светом $φ_2$

Решение:

При освещении металлического шарика светом происходит явление фотоэффекта, которое описывается уравнением Эйнштейна. Энергия падающего фотона $E_{ф}$ расходуется на работу выхода электрона из металла $A_{вых}$ и на сообщение ему максимальной кинетической энергии $E_{k,max}$:

$E_{ф} = A_{вых} + E_{k,max}$

Энергия фотона связана с длиной волны света $λ$ соотношением $E_{ф} = \frac{hc}{λ}$, где $h$ — постоянная Планка, а $c$ — скорость света в вакууме.

В результате фотоэффекта шарик теряет электроны и заряжается положительно. Эмиссия электронов прекратится, когда потенциал шарика $φ$ станет таким, что работа электрического поля по удержанию электрона станет равной максимальной кинетической энергии вылетающих фотоэлектронов. Эта работа равна $eφ$, где $e$ — элементарный заряд. Таким образом, $E_{k,max} = eφ$.

Тогда уравнение Эйнштейна для данного процесса можно записать в виде:

$\frac{hc}{λ} = A_{вых} + eφ$

Составим систему уравнений для двух случаев, учитывая, что работа выхода $A_{вых}$ зависит только от материала шарика и не меняется.

1. Освещение желтым светом:

$\frac{hc}{λ_1} = A_{вых} + eφ_1$

2. Освещение фиолетовым светом:

$\frac{hc}{λ_2} = A_{вых} + eφ_2$

Выразим работу выхода $A_{вых}$ из первого уравнения:

$A_{вых} = \frac{hc}{λ_1} - eφ_1$

Подставим это выражение во второе уравнение:

$\frac{hc}{λ_2} = (\frac{hc}{λ_1} - eφ_1) + eφ_2$

Теперь выразим искомый потенциал $φ_2$. Сначала найдем $eφ_2$:

$eφ_2 = \frac{hc}{λ_2} - \frac{hc}{λ_1} + eφ_1 = hc(\frac{1}{λ_2} - \frac{1}{λ_1}) + eφ_1$

Разделив обе части на $e$, получим формулу для $φ_2$:

$φ_2 = \frac{hc}{e}(\frac{1}{λ_2} - \frac{1}{λ_1}) + φ_1$

Подставим числовые значения. Используем справочные данные: $h \approx 6,63 \cdot 10^{-34}$ Дж·с, $c \approx 3 \cdot 10^8$ м/с, $e \approx 1,6 \cdot 10^{-19}$ Кл.

$φ_2 = \frac{6,63 \cdot 10^{-34} \text{ Дж·с} \cdot 3 \cdot 10^8 \text{ м/с}}{1,6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл}} \cdot (\frac{1}{400 \cdot 10^{-9} \text{ м}} - \frac{1}{600 \cdot 10^{-9} \text{ м}}) + 1,2 \text{ В}$

$φ_2 \approx 1,243 \cdot 10^{-6} \text{ В·м} \cdot (\frac{1}{10^{-9} \text{ м}} \cdot (\frac{1}{400} - \frac{1}{600})) + 1,2 \text{ В}$

Вычислим выражение в скобках:

$\frac{1}{400} - \frac{1}{600} = \frac{3 - 2}{1200} = \frac{1}{1200}$

Продолжаем расчет:

$φ_2 \approx 1,243 \cdot 10^{-6} \cdot (10^9 \cdot \frac{1}{1200}) + 1,2 \text{ В}$

$φ_2 \approx 1,243 \cdot 10^3 \cdot \frac{1}{1200} + 1,2 \text{ В}$

$φ_2 \approx \frac{1243}{1200} + 1,2 \text{ В}$

$φ_2 \approx 1,036 \text{ В} + 1,2 \text{ В} = 2,236 \text{ В}$

Округлим результат до сотых.

Ответ: $φ_2 \approx 2,24$ В.