Номер 819, страница 234 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

819. Мощность излучения, падающего на катод фотоэлемента, $P = 22,1 \text{ мВт}$. При этом в цепи фотоэлемента сила тока $I = 1,0 \text{ мА}$. Определите длину волны излучения, падающего на фотокатод, если отношение числа падающих фотонов к числу выбитых фотоэлектронов $\frac{N_1}{N_2} = 8$.

Дано:

$P = 22,1 \text{ мВт} = 22,1 \cdot 10^{-3} \text{ Вт}$

$I = 1,0 \text{ мА} = 1,0 \cdot 10^{-3} \text{ А}$

$\frac{N_1}{N_2} = 8$

Физические константы:

$e = 1,6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл}$ (заряд электрона)

$h = 6,63 \cdot 10^{-34} \text{ Дж} \cdot \text{с}$ (постоянная Планка)

$c = 3 \cdot 10^8 \text{ м/с}$ (скорость света в вакууме)

Найти:

$\lambda - ?$

Решение:

Мощность излучения $P$ — это энергия всех фотонов, падающих на катод в единицу времени. Если за время $\Delta t$ на катод падает $N_1$ фотонов, а энергия одного фотона равна $E_{ф}$, то мощность можно выразить как:

$P = \frac{N_1 E_{ф}}{\Delta t}$

Энергия одного фотона связана с длиной волны излучения $\lambda$ формулой Планка:

$E_{ф} = \frac{hc}{\lambda}$

Подставив энергию фотона в формулу мощности, получим:

$P = \frac{N_1}{\Delta t} \frac{hc}{\lambda}$

Отсюда можно выразить число фотонов, падающих в единицу времени:

$\frac{N_1}{\Delta t} = \frac{P \lambda}{hc}$ (1)

Сила тока $I$ в цепи фотоэлемента определяется общим зарядом фотоэлектронов, прошедших через цепь за единицу времени. Если за время $\Delta t$ было выбито $N_2$ фотоэлектронов, то сила тока равна:

$I = \frac{N_2 e}{\Delta t}$

Отсюда выразим число фотоэлектронов, выбиваемых в единицу времени:

$\frac{N_2}{\Delta t} = \frac{I}{e}$ (2)

По условию задачи, отношение числа падающих фотонов к числу выбитых фотоэлектронов составляет:

$\frac{N_1}{N_2} = 8$

Это отношение справедливо и для числа частиц в единицу времени:

$\frac{N_1/\Delta t}{N_2/\Delta t} = 8$

Подставим в это соотношение выражения (1) и (2):

$\frac{P \lambda / hc}{I / e} = 8$

Преобразуем выражение:

$\frac{P \lambda e}{I h c} = 8$

Теперь выразим искомую длину волны $\lambda$:

$\lambda = \frac{8 I h c}{P e}$

Подставим числовые значения в СИ:

$\lambda = \frac{8 \cdot (1,0 \cdot 10^{-3} \text{ А}) \cdot (6,63 \cdot 10^{-34} \text{ Дж} \cdot \text{с}) \cdot (3 \cdot 10^8 \text{ м/с})}{(22,1 \cdot 10^{-3} \text{ Вт}) \cdot (1,6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл})}$

Сократим $10^{-3}$ в числителе и знаменателе:

$\lambda = \frac{8 \cdot 1,0 \cdot 6,63 \cdot 10^{-34} \cdot 3 \cdot 10^8}{22,1 \cdot 1,6 \cdot 10^{-19}} \text{ м} = \frac{159,12 \cdot 10^{-26}}{35,36 \cdot 10^{-19}} \text{ м}$

$\lambda \approx 4,5 \cdot 10^{-7} \text{ м}$

Полученное значение можно выразить в нанометрах: $4,5 \cdot 10^{-7} \text{ м} = 450 \text{ нм}$.

Ответ: длина волны излучения равна $4,5 \cdot 10^{-7}$ м или 450 нм.