Номер 826, страница 236 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

826. На одну из параллельных металлических пластин, на-ходящихся в вакууме, падает поток фотонов. Причемэнергия каждого фотона $E_0 = 5,0$ эВ. Работа выходаэлектрона с поверхности пластины $A_{\text{вых}} = 2,0$ эВ. Меж-ду пластинами создано однородное магнитное поле, мо-дуль индукции которого $B = 1,2$ мТл, линии магнитнойиндукции направлены параллельно пластинам. Междупластинами включен идеальный амперметр. Определи-те максимальное расстояние между пластинами, прикотором через амперметр будет протекать ток.

Дано:

$E_0 = 5,0$ эВ

$A_{вых} = 2,0$ эВ

$B = 1,2$ мТл

Перевод в систему СИ:

$E_0 = 5,0 \cdot 1,602 \cdot 10^{-19} \text{ Дж} \approx 8,01 \cdot 10^{-19}$ Дж

$A_{вых} = 2,0 \cdot 1,602 \cdot 10^{-19} \text{ Дж} \approx 3,204 \cdot 10^{-19}$ Дж

$B = 1,2 \cdot 10^{-3}$ Тл

Справочные данные:

Масса электрона $m \approx 9,11 \cdot 10^{-31}$ кг.

Заряд электрона по модулю $e \approx 1,602 \cdot 10^{-19}$ Кл.

Найти:

$d_{max}$ — максимальное расстояние между пластинами.

Решение:

1. При падении фотонов на металлическую пластину происходит фотоэффект. Энергия фотона расходуется на работу выхода электрона и на сообщение ему кинетической энергии. Максимальная кинетическая энергия вылетевшего электрона определяется уравнением Эйнштейна для фотоэффекта:

$E_{k,max} = E_0 - A_{вых}$

Подставим числовые значения:

$E_{k,max} = 5,0 \text{ эВ} - 2,0 \text{ эВ} = 3,0$ эВ.

Переведем максимальную кинетическую энергию в Джоули:

$E_{k,max} = 3,0 \cdot 1,602 \cdot 10^{-19} \text{ Дж} \approx 4,806 \cdot 10^{-19}$ Дж.

2. Электроны, вылетевшие из пластины, попадают в однородное магнитное поле, вектор индукции которого $ \vec{B} $ параллелен пластинам. На движущийся электрон действует сила Лоренца $ \vec{F}_L = -e(\vec{v} \times \vec{B}) $. Эта сила всегда перпендикулярна скорости электрона и не совершает работы, поэтому модуль скорости электрона остается постоянным. Траектория движения электрона в таком поле представляет собой винтовую линию, ось которой параллельна вектору $ \vec{B} $.

3. Чтобы через амперметр протекал ток, хотя бы некоторые из вылетевших электронов должны достичь второй пластины. Мы ищем максимальное расстояние $d_{max}$ между пластинами, при котором это еще возможно. Для этого нужно найти максимальное расстояние, на которое электрон может отдалиться от первой пластины. Это расстояние зависит от начальной скорости электрона (ее величины и направления).

4. Максимальное расстояние от пластины достигается электроном, обладающим максимальной кинетической энергией $E_{k,max}$. Максимальное удаление от пластины будет в том случае, когда электрон вылетает параллельно поверхности пластины, но перпендикулярно линиям магнитной индукции. В этом случае траектория электрона — окружность, касающаяся пластины в точке вылета. Диаметр этой окружности и будет максимальным расстоянием, на которое электрон может удалиться от пластины.

Радиус этой окружности определяется из равенства силы Лоренца и центростремительной силы:

$e v_{max} B = \frac{m v_{max}^2}{R}$

Отсюда радиус равен:

$R = \frac{m v_{max}}{eB}$

Максимальное расстояние от пластины равно диаметру этой окружности:

$d_{max} = 2R = \frac{2mv_{max}}{eB}$

5. Найдем максимальную скорость электрона из его кинетической энергии:

$E_{k,max} = \frac{m v_{max}^2}{2} \implies v_{max} = \sqrt{\frac{2E_{k,max}}{m}}$

Подставим это выражение в формулу для $d_{max}$:

$d_{max} = \frac{2m}{eB} \sqrt{\frac{2E_{k,max}}{m}} = \frac{2}{eB} \sqrt{2mE_{k,max}}$

6. Произведем вычисления:

$d_{max} = \frac{2}{1,602 \cdot 10^{-19} \text{ Кл} \cdot 1,2 \cdot 10^{-3} \text{ Тл}} \sqrt{2 \cdot 9,11 \cdot 10^{-31} \text{ кг} \cdot 4,806 \cdot 10^{-19} \text{ Дж}}$

$d_{max} \approx \frac{2}{1,9224 \cdot 10^{-22}} \sqrt{8,756 \cdot 10^{-49}} \approx 1,040 \cdot 10^{22} \cdot 9,357 \cdot 10^{-25} \text{ м}$

$d_{max} \approx 0,00973 \text{ м} \approx 9,7$ мм.

Ответ: Максимальное расстояние между пластинами, при котором через амперметр будет протекать ток, составляет приблизительно $9,7$ мм.