Номер 825, страница 235 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

825. Незаряженная металлическая пластинка освещается светом с длиной волны $\lambda = 180\text{ нм}$. Красная граница фотоэффекта для этого металла $\lambda_{\text{max}} = 360\text{ нм}$. Непосредственно у поверхности пластинки создано однородное магнитное поле, модуль индукции которого $B = 1,0\text{ мТл}$. Линии индукции магнитного поля параллельны поверхности пластинки. Определите, на какое максимальное расстояние от пластинки смогут удалиться фотоэлектроны, если они вылетают перпендикулярно пластинке.

Дано:

Длина волны падающего света, $\lambda = 180 \text{ нм} = 180 \cdot 10^{-9} \text{ м}$

Красная граница фотоэффекта, $\lambda_{max} = 360 \text{ нм} = 360 \cdot 10^{-9} \text{ м}$

Модуль индукции магнитного поля, $B = 1.0 \text{ мТл} = 1.0 \cdot 10^{-3} \text{ Тл}$

Постоянная Планка, $h \approx 6.63 \cdot 10^{-34} \text{ Дж} \cdot \text{с}$

Скорость света в вакууме, $c \approx 3 \cdot 10^8 \text{ м/с}$

Масса электрона, $m_e \approx 9.11 \cdot 10^{-31} \text{ кг}$

Модуль заряда электрона, $e \approx 1.6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл}$

Найти:

Максимальное расстояние от пластинки, $d_{max}$

Решение:

1. Сначала найдем максимальную кинетическую энергию фотоэлектронов, используя уравнение Эйнштейна для фотоэффекта: $E_{k,max} = E_{ф} - A_{вых}$ где $E_{ф}$ - энергия падающего фотона, а $A_{вых}$ - работа выхода электрона из металла.

Энергия фотона определяется его длиной волны: $E_{ф} = \frac{hc}{\lambda}$. Работа выхода связана с красной границей фотоэффекта: $A_{вых} = \frac{hc}{\lambda_{max}}$.

Тогда максимальная кинетическая энергия фотоэлектронов равна: $E_{k,max} = \frac{hc}{\lambda} - \frac{hc}{\lambda_{max}} = hc (\frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda_{max}})$

Эта энергия связана с максимальной начальной скоростью фотоэлектронов $v_{max}$ соотношением: $E_{k,max} = \frac{m_e v_{max}^2}{2}$

2. Фотоэлектроны вылетают перпендикулярно пластинке. Магнитное поле параллельно поверхности пластинки. Следовательно, начальная скорость электронов $\vec{v}$ перпендикулярна вектору магнитной индукции $\vec{B}$.

На электрон, движущийся в магнитном поле, действует сила Лоренца, модуль которой равен $F_L = ev_{max}B$, так как $\vec{v} \perp \vec{B}$. Эта сила перпендикулярна скорости электрона и заставляет его двигаться по окружности. Сила Лоренца является центростремительной силой.

$F_L = F_{цс}$ $ev_{max}B = \frac{m_e v_{max}^2}{R}$

Отсюда можно найти радиус траектории электрона: $R = \frac{m_e v_{max}}{eB}$

Электрон вылетает с поверхности пластинки и движется по дуге окружности. Максимальное расстояние, на которое он может удалиться от пластинки, равно радиусу этой окружности. Таким образом, $d_{max} = R$.

3. Выразим скорость из формулы для кинетической энергии: $v_{max} = \sqrt{\frac{2E_{k,max}}{m_e}}$. Подставим это выражение в формулу для радиуса: $d_{max} = R = \frac{m_e}{eB} \sqrt{\frac{2E_{k,max}}{m_e}} = \frac{\sqrt{2m_e E_{k,max}}}{eB}$

Теперь подставим выражение для $E_{k,max}$: $d_{max} = \frac{\sqrt{2m_e hc (\frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda_{max}})}}{eB}$

4. Проведем вычисления. Сначала найдем кинетическую энергию: $E_{k,max} = 6.63 \cdot 10^{-34} \cdot 3 \cdot 10^8 \cdot (\frac{1}{180 \cdot 10^{-9}} - \frac{1}{360 \cdot 10^{-9}}) = 19.89 \cdot 10^{-26} \cdot (\frac{2 - 1}{360 \cdot 10^{-9}})$ $E_{k,max} = \frac{19.89 \cdot 10^{-26}}{360 \cdot 10^{-9}} \approx 5.525 \cdot 10^{-19} \text{ Дж}$

Теперь вычислим максимальное расстояние $d_{max}$: $d_{max} = \frac{\sqrt{2 \cdot 9.11 \cdot 10^{-31} \cdot 5.525 \cdot 10^{-19}}}{1.6 \cdot 10^{-19} \cdot 1.0 \cdot 10^{-3}} = \frac{\sqrt{100.67 \cdot 10^{-50}}}{1.6 \cdot 10^{-22}} = \frac{10.03 \cdot 10^{-25}}{1.6 \cdot 10^{-22}}$ $d_{max} \approx 6.27 \cdot 10^{-3} \text{ м}$

Переведем результат в миллиметры: $d_{max} \approx 6.3 \text{ мм}$

Ответ: максимальное расстояние, на которое смогут удалиться фотоэлектроны от пластинки, составляет приблизительно $6.3 \text{ мм}$.