Номер 822, страница 234 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

822. Плоская алюминиевая пластинка освещается ультрафиолетовым излучением с длиной волны $\lambda = 83$ нм. Определите, на какое максимальное расстояние от поверхности пластинки может удалиться фотоэлектрон, если вне пластинки создано задерживающее однородное электрическое поле, линии напряженности которого перпендикулярны пластинке, а модуль напряженности поля $E=7,5 \frac{\text{В}}{\text{см}}$. Длина волны, соответствующая красной границе фотоэффекта для алюминия, $\lambda_{\text{max}} = 330$ нм.

Дано:

Длина волны ультрафиолетового излучения: $ \lambda = 83 \text{ нм} = 83 \cdot 10^{-9} \text{ м} $

Красная граница фотоэффекта для алюминия: $ \lambda_{max} = 330 \text{ нм} = 330 \cdot 10^{-9} \text{ м} $

Напряженность задерживающего электрического поля: $ E = 7,5 \frac{\text{В}}{\text{см}} = 7,5 \frac{\text{В}}{10^{-2} \text{ м}} = 750 \frac{\text{В}}{\text{м}} $

Постоянная Планка: $ h \approx 6,63 \cdot 10^{-34} \text{ Дж} \cdot \text{с} $

Скорость света в вакууме: $ c \approx 3 \cdot 10^{8} \frac{\text{м}}{\text{с}} $

Элементарный заряд: $ e \approx 1,6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл} $

Найти:

Максимальное расстояние $ d_{max} $.

Решение:

Задача решается с помощью уравнения Эйнштейна для фотоэффекта и теоремы о кинетической энергии.

1. Сначала найдем максимальную кинетическую энергию $ K_{max} $, которую получают фотоэлектроны при вылете с поверхности пластинки. Уравнение Эйнштейна для фотоэффекта имеет вид:

$ E_{ф} = A_{вых} + K_{max} $

где $ E_{ф} $ — энергия падающего фотона, а $ A_{вых} $ — работа выхода электрона из металла.

Энергия фотона и работа выхода выражаются через длину волны:

$ E_{ф} = \frac{hc}{\lambda} $

$ A_{вых} = \frac{hc}{\lambda_{max}} $

Тогда максимальная кинетическая энергия фотоэлектрона равна:

$ K_{max} = E_{ф} - A_{вых} = \frac{hc}{\lambda} - \frac{hc}{\lambda_{max}} = hc \left( \frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda_{max}} \right) $

2. Фотоэлектрон, вылетевший с пластинки, попадает в однородное задерживающее электрическое поле. Это поле совершает отрицательную работу над электроном, замедляя его движение. Максимальное расстояние $ d_{max} $ будет пройдено в тот момент, когда вся начальная кинетическая энергия электрона будет израсходована на работу против сил поля, то есть когда его скорость (и кинетическая энергия) станет равной нулю.

По теореме о кинетической энергии, работа $ W $ электрического поля равна изменению кинетической энергии электрона $ \Delta K $:

$ W = \Delta K = K_{конечная} - K_{начальная} $

В нашем случае $ K_{начальная} = K_{max} $ и $ K_{конечная} = 0 $. Работа задерживающего поля на расстоянии $ d_{max} $ равна $ W = -e E d_{max} $, где $ e $ — модуль заряда электрона.

Получаем:

$ -e E d_{max} = 0 - K_{max} $

$ e E d_{max} = K_{max} $

3. Приравняем два полученных выражения для $ K_{max} $:

$ e E d_{max} = hc \left( \frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda_{max}} \right) $

Отсюда выразим искомое расстояние $ d_{max} $:

$ d_{max} = \frac{hc}{eE} \left( \frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda_{max}} \right) $

Подставим числовые значения и выполним вычисления:

$ d_{max} = \frac{6,63 \cdot 10^{-34} \cdot 3 \cdot 10^{8}}{1,6 \cdot 10^{-19} \cdot 750} \left( \frac{1}{83 \cdot 10^{-9}} - \frac{1}{330 \cdot 10^{-9}} \right) $

$ d_{max} = \frac{19,89 \cdot 10^{-26}}{1200 \cdot 10^{-19}} \left( \frac{330 - 83}{83 \cdot 330 \cdot 10^{-9}} \right) $

$ d_{max} = \frac{19,89 \cdot 10^{-26}}{1,2 \cdot 10^{-16}} \left( \frac{247}{27390 \cdot 10^{-9}} \right) $

$ d_{max} \approx 1,6575 \cdot 10^{-9} \cdot \left( \frac{247}{27390} \cdot 10^{9} \right) \approx 1,6575 \cdot 10^{-9} \cdot 0,009018 \cdot 10^{9} \text{ м} $

$ d_{max} \approx 0,01495 \text{ м} \approx 1,5 \text{ см} $

Ответ:

Максимальное расстояние, на которое может удалиться фотоэлектрон от поверхности пластинки, составляет 1,5 см.