Номер 812, страница 232 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

812. При длине волны $\lambda = 600$ нм электромагнитного излучения, падающего на вакуумный фотоэлемент, фототок прекращается, если между катодом и анодом подать некоторое задерживающее напряжение. При увеличении длины волны излучения на $\alpha = 25$ % задерживающее напряжение оказывается на $|\Delta U_з| = 0,415$ В меньше. Определите по этим данным постоянную Планка.

Дано

$ \lambda_1 = 600 $ нм $ = 600 \cdot 10^{-9} $ м $ = 6 \cdot 10^{-7} $ м
$ \alpha = 25 \% = 0.25 $
$ |\Delta U_з| = 0.415 $ В
$ c \approx 3 \cdot 10^8 $ м/с (скорость света)
$ e \approx 1.6 \cdot 10^{-19} $ Кл (элементарный заряд)

Найти:

$ h $ - постоянную Планка

Решение

Для решения задачи используем уравнение Эйнштейна для фотоэффекта:

$ E_{ф} = A_{вых} + E_{к, max} $

где $ E_{ф} $ - энергия падающего фотона, $ A_{вых} $ - работа выхода электрона, $ E_{к, max} $ - максимальная кинетическая энергия фотоэлектрона.

Энергия фотона определяется формулой $ E_{ф} = \frac{hc}{\lambda} $, а максимальная кинетическая энергия электронов связана с задерживающим напряжением $ U_з $ соотношением $ E_{к, max} = eU_з $.

Тогда уравнение Эйнштейна принимает вид:

$ \frac{hc}{\lambda} = A_{вых} + eU_з $

Запишем это уравнение для двух случаев, описанных в условии.

1. Начальные условия: длина волны $ \lambda_1 $, задерживающее напряжение $ U_{з1} $.

$ \frac{hc}{\lambda_1} = A_{вых} + eU_{з1} $ (1)

2. После увеличения длины волны на $ \alpha = 25 \% $, новая длина волны $ \lambda_2 $ равна:

$ \lambda_2 = \lambda_1 + \alpha \cdot \lambda_1 = \lambda_1(1 + \alpha) $

Новое задерживающее напряжение $ U_{з2} $ стало меньше на $ |\Delta U_з| $:

$ U_{з2} = U_{з1} - |\Delta U_з| $

Уравнение для второго случая:

$ \frac{hc}{\lambda_2} = A_{вых} + eU_{з2} $ (2)

Мы получили систему из двух уравнений с неизвестными $ A_{вых} $ и $ U_{з1} $. Чтобы избавиться от них, вычтем из уравнения (1) уравнение (2):

$ \frac{hc}{\lambda_1} - \frac{hc}{\lambda_2} = (A_{вых} + eU_{з1}) - (A_{вых} + eU_{з2}) $

$ hc \left( \frac{1}{\lambda_1} - \frac{1}{\lambda_2} \right) = e(U_{з1} - U_{з2}) $

Разность напряжений $ U_{з1} - U_{з2} $ равна $ |\Delta U_з| $. Подставим это, а также выражение для $ \lambda_2 $:

$ hc \left( \frac{1}{\lambda_1} - \frac{1}{\lambda_1(1 + \alpha)} \right) = e|\Delta U_з| $

Вынесем общий множитель $ \frac{1}{\lambda_1} $ за скобки в левой части:

$ \frac{hc}{\lambda_1} \left( 1 - \frac{1}{1 + \alpha} \right) = e|\Delta U_з| $

Приведем выражение в скобках к общему знаменателю:

$ \frac{hc}{\lambda_1} \left( \frac{1 + \alpha - 1}{1 + \alpha} \right) = e|\Delta U_з| $

$ \frac{hc}{\lambda_1} \frac{\alpha}{1 + \alpha} = e|\Delta U_з| $

Выразим из полученного уравнения постоянную Планка $ h $:

$ h = \frac{e|\Delta U_з| \lambda_1 (1 + \alpha)}{c \alpha} $

Подставим числовые значения и произведем расчет:

$ h = \frac{1.6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл} \cdot 0.415 \text{ В} \cdot 6 \cdot 10^{-7} \text{ м} \cdot (1 + 0.25)}{3 \cdot 10^8 \text{ м/с} \cdot 0.25} $

$ h = \frac{1.6 \cdot 0.415 \cdot 6 \cdot 1.25}{3 \cdot 0.25} \cdot 10^{-19-7-8} \text{ Дж} \cdot \text{с} $

$ h = \frac{4.98}{0.75} \cdot 10^{-34} \text{ Дж} \cdot \text{с} \approx 6.64 \cdot 10^{-34} \text{ Дж} \cdot \text{с} $

Ответ: $ h \approx 6.64 \cdot 10^{-34} $ Дж·с.