Номер 814, страница 233 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

814. *Уединенный металлический шарик при освещении монохроматическим светом с частотой $v_0$ заряжается до максимального потенциала $\varphi_{\text{max1}} = 0,8$ В. Этот же шарик под действием излучения с частотой $2v_0$ заряжается до максимального потенциала $\varphi_{\text{max2}} = 4,1$ В. Определите частоту света $v_0$.

Дано:

$ν_1 = ν_0$

$φ_{max1} = 0,8 \text{ В}$

$ν_2 = 2ν_0$

$φ_{max2} = 4,1 \text{ В}$

Найти:

$ν_0$ - ?

Решение:

При освещении уединенного металлического шарика монохроматическим светом происходит явление фотоэффекта. Электроны, вырванные с поверхности шарика, улетают, в результате чего шарик приобретает положительный заряд и, следовательно, положительный потенциал.

Вылет электронов прекращается, когда потенциал шарика становится настолько большим, что работа электрического поля по удалению электрона с поверхности становится равной максимальной кинетической энергии вылетающих фотоэлектронов $E_{k,max}$. Эту работу можно выразить как $A_{эл} = eφ_{max}$, где $e$ — элементарный заряд, а $φ_{max}$ — максимальный потенциал шарика. Таким образом, условие прекращения фотоэффекта:

$E_{k,max} = eφ_{max}$

Согласно уравнению Эйнштейна для фотоэффекта, максимальная кинетическая энергия фотоэлектронов связана с частотой падающего света $ν$ и работой выхода $A_{вых}$ соотношением:

$E_{k,max} = hν - A_{вых}$

где $h$ — постоянная Планка.

Объединив эти два уравнения, получаем основное уравнение для данной задачи:

$eφ_{max} = hν - A_{вых}$

Запишем это уравнение для двух случаев, описанных в условии. Работа выхода $A_{вых}$ для одного и того же металлического шарика является постоянной величиной.

1. При освещении светом с частотой $ν_0$:

$eφ_{max1} = hν_0 - A_{вых} \quad (1)$

2. При освещении светом с частотой $2ν_0$:

$eφ_{max2} = h(2ν_0) - A_{вых} \quad (2)$

Мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными: $ν_0$ и $A_{вых}$. Чтобы найти $ν_0$, вычтем уравнение (1) из уравнения (2):

$eφ_{max2} - eφ_{max1} = (2hν_0 - A_{вых}) - (hν_0 - A_{вых})$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$e(φ_{max2} - φ_{max1}) = 2hν_0 - A_{вых} - hν_0 + A_{вых}$

$e(φ_{max2} - φ_{max1}) = hν_0$

Отсюда выражаем искомую частоту $ν_0$:

$ν_0 = \frac{e(φ_{max2} - φ_{max1})}{h}$

Подставим числовые значения из условия и физические константы (элементарный заряд $e ≈ 1,6 \cdot 10^{-19}$ Кл, постоянная Планка $h ≈ 6,63 \cdot 10^{-34}$ Дж·с):

$ν_0 = \frac{1,6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл} \cdot (4,1 \text{ В} - 0,8 \text{ В})}{6,63 \cdot 10^{-34} \text{ Дж·с}}$

$ν_0 = \frac{1,6 \cdot 10^{-19} \cdot 3,3}{6,63 \cdot 10^{-34}} \text{ Гц}$

$ν_0 ≈ \frac{5,28 \cdot 10^{-19}}{6,63 \cdot 10^{-34}} \text{ Гц} ≈ 0,796 \cdot 10^{15} \text{ Гц}$

Округляя результат до двух значащих цифр, как в исходных данных ($0,8$ В и $4,1$ В), получаем:

$ν_0 ≈ 0,80 \cdot 10^{15} \text{ Гц} = 8,0 \cdot 10^{14} \text{ Гц}$

Ответ: $ν_0 ≈ 8,0 \cdot 10^{14} \text{ Гц}$.