Номер 839, страница 241 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

839. На рисунке 209 изображена вольт-амперная характеристика фотоэлемента, полученная при его освещении монохроматическим излучением постоянной мощности $P = 4,5 \text{ мВт}$. Участок AB вольт-амперной характеристики можно считать линейным, задерживающее напряжение $U_3 = 3,0 \text{ В}$, сила тока $I_0 = 60 \text{ мкА}$. Определите:
а) если, не изменяя освещения, к фотоэлементу подключить вольтметр с внутренним сопротивлением $R = 200 \text{ кОм}$, какое напряжение он покажет;
б) максимальный КПД фотоэлемента.

Рис. 209

Дано:

Мощность падающего излучения $P = 4,5$ мВт = $4,5 \times 10^{-3}$ Вт.

Задерживающее напряжение $U_з = 3,0$ В.

Сила тока при нулевом напряжении $I_0 = 60$ мкА = $60 \times 10^{-6}$ А.

Внутреннее сопротивление вольтметра $R = 200$ кОм = $200 \times 10^3$ Ом = $2 \times 10^5$ Ом.

Найти:

а) Напряжение на вольтметре $U_V$.

б) Максимальный КПД фотоэлемента $\eta_{max}$.

Решение:

Вольт-амперная характеристика (ВАХ) на участке АВ является линейной. Когда фотоэлемент используется как источник питания (генератор), его рабочая характеристика описывается в терминах напряжения холостого хода $U_{хх}$ (напряжение при нулевом токе) и тока короткого замыкания $I_{кз}$ (ток при нулевом напряжении).

Из графика и условия задачи следует, что:

Напряжение холостого хода $U_{хх}$ соответствует по модулю задерживающему напряжению: $U_{хх} = U_з = 3,0$ В.

Ток короткого замыкания $I_{кз}$ равен току при нулевом напряжении: $I_{кз} = I_0 = 60$ мкА.

Для линейного участка ВАХ зависимость тока $I$ от напряжения $U$ на клеммах фотоэлемента можно описать уравнением прямой, проходящей через точки $(0, I_{кз})$ и $(U_{хх}, 0)$:

$I = I_{кз} - \frac{I_{кз}}{U_{хх}}U = I_0 (1 - \frac{U}{U_з})$

а) При подключении к фотоэлементу вольтметра с сопротивлением $R$, вольтметр выступает в роли нагрузки. Связь между напряжением на нем и током через него описывается законом Ома: $U = I \cdot R$.

Напряжение, которое покажет вольтметр ($U_V$), соответствует рабочей точке, которая является пересечением ВАХ фотоэлемента и нагрузочной прямой вольтметра. Для ее нахождения необходимо решить систему уравнений:

$\begin{cases} I = I_0 (1 - \frac{U}{U_з}) \\ U = I \cdot R \end{cases}$

Подставим выражение для тока $I = U/R$ из второго уравнения в первое:

$\frac{U}{R} = I_0 (1 - \frac{U}{U_з})$

$\frac{U}{R} = I_0 - \frac{I_0}{U_з}U$

$U(\frac{1}{R} + \frac{I_0}{U_з}) = I_0$

$U(\frac{U_з + I_0 R}{R U_з}) = I_0$

Отсюда выразим искомое напряжение $U_V = U$:

$U_V = \frac{I_0 R U_з}{U_з + I_0 R}$

Проведем вычисления, предварительно найдя произведение $I_0 R$:

$I_0 R = (60 \times 10^{-6} \text{ А}) \cdot (200 \times 10^3 \text{ Ом}) = 12$ В.

$U_V = \frac{12 \text{ В} \cdot 3,0 \text{ В}}{3,0 \text{ В} + 12 \text{ В}} = \frac{36 \text{ В}^2}{15 \text{ В}} = 2,4$ В.

Ответ: 2,4 В.

б) Коэффициент полезного действия (КПД) фотоэлемента равен отношению полезной электрической мощности $P_{пол}$, отдаваемой во внешнюю цепь, к мощности падающего на него излучения $P$:

$\eta = \frac{P_{пол}}{P}$

Полезная мощность $P_{пол} = U \cdot I$. Используя уравнение ВАХ, выразим мощность как функцию напряжения $U$:

$P_{пол}(U) = U \cdot I_0 (1 - \frac{U}{U_з}) = I_0 U - \frac{I_0}{U_з}U^2$

Чтобы найти максимальную мощность, необходимо найти экстремум этой функции. Возьмем производную $P_{пол}(U)$ по $U$ и приравняем ее к нулю:

$\frac{dP_{пол}}{dU} = I_0 - 2 \frac{I_0}{U_з}U = 0$

Отсюда находим напряжение $U_{opt}$, при котором мощность максимальна:

$I_0 = 2 \frac{I_0}{U_з}U_{opt} \implies U_{opt} = \frac{U_з}{2}$

$U_{opt} = \frac{3,0 \text{ В}}{2} = 1,5$ В.

Максимальная полезная мощность $P_{max}$ будет равна:

$P_{max} = P_{пол}(U_{opt}) = I_0 U_{opt} - \frac{I_0}{U_з}U_{opt}^2 = I_0 (\frac{U_з}{2}) - \frac{I_0}{U_з}(\frac{U_з}{2})^2 = \frac{I_0 U_з}{2} - \frac{I_0 U_з}{4} = \frac{I_0 U_з}{4}$

Подставим числовые значения:

$P_{max} = \frac{(60 \times 10^{-6} \text{ А}) \cdot 3,0 \text{ В}}{4} = \frac{180 \times 10^{-6} \text{ Вт}}{4} = 45 \times 10^{-6}$ Вт.

Теперь можем рассчитать максимальный КПД $\eta_{max}$:

$\eta_{max} = \frac{P_{max}}{P} = \frac{45 \times 10^{-6} \text{ Вт}}{4,5 \times 10^{-3} \text{ Вт}} = 10 \times 10^{-3} = 0,01$

В процентах это составляет $\eta_{max} = 1\%$.

Ответ: 1%.