Номер 11, страница 127 - гдз по математике 5 класс сборник задач Пирютко, Терешко

11. a) Зрители могут выйти из кинозала только через узкую дверь за 15 мин, а только через широкую дверь — за 10 мин. За какое время из кинозала выйдут все зрители, если открыть сразу обе двери?

б) Используя большой насос, можно откачать воду из котлована за 4 ч, а используя маленький насос — за 12 ч. За какое время оба насоса, работая одновременно, могут откачать воду из котлована?

а) Для решения этой задачи на совместную работу, примем общее количество зрителей, которым нужно выйти из зала, за 1 (единицу).
Производительность (скорость выхода) через узкую дверь составляет $\frac{1}{15}$ зала в минуту. Производительность через широкую дверь составляет $\frac{1}{10}$ зала в минуту.
Когда обе двери открыты, их производительности складываются. Найдем общую производительность:
$v_{общая} = \frac{1}{15} + \frac{1}{10}$
Приведем дроби к общему знаменателю 30:
$v_{общая} = \frac{2}{30} + \frac{3}{30} = \frac{5}{30} = \frac{1}{6}$ зала в минуту.
Это значит, что за одну минуту через обе двери выйдет $\frac{1}{6}$ всех зрителей.
Время $t$, необходимое для выхода всех зрителей, можно найти, разделив всю работу (1) на общую производительность:
$t = \frac{1}{v_{общая}} = \frac{1}{1/6} = 6$ минут.
Ответ: все зрители выйдут за 6 минут.

б) Эта задача также является задачей на совместную работу. Примем весь объем воды в котловане за 1 (единицу).
Производительность большого насоса составляет $\frac{1}{4}$ котлована в час.
Производительность маленького насоса составляет $\frac{1}{12}$ котлована в час.
При одновременной работе насосов их производительности складываются. Найдем общую производительность:
$v_{общая} = \frac{1}{4} + \frac{1}{12}$
Приведем дроби к общему знаменателю 12:
$v_{общая} = \frac{3}{12} + \frac{1}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$ котлована в час.
Это означает, что за один час оба насоса, работая вместе, откачают $\frac{1}{3}$ всей воды.
Время $t$, за которое будет откачана вся вода, равно всему объему (1), деленному на общую производительность:
$t = \frac{1}{v_{общая}} = \frac{1}{1/3} = 3$ часа.
Ответ: оба насоса, работая одновременно, откачают воду за 3 часа.