Номер 7, страница 126 - гдз по математике 5 класс сборник задач Пирютко, Терешко

7. Решите уравнение:

a) $2\frac{1}{2} : \left(\frac{1}{2}x + \frac{5}{12}\right) - 1\frac{5}{6} = \frac{2}{3};$

б) $3\frac{3}{10} : \left(\frac{1}{4}x + \frac{5}{12}\right) - 2\frac{3}{5} = \frac{7}{10}.$

а)

Решим уравнение $2\frac{1}{2} : (\frac{1}{2}x + \frac{5}{12}) - 1\frac{5}{6} = \frac{2}{3}$ по шагам.

1. Сначала преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:
$2\frac{1}{2} = \frac{2 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{5}{2}$
$1\frac{5}{6} = \frac{1 \cdot 6 + 5}{6} = \frac{11}{6}$
Подставим эти значения в уравнение:
$\frac{5}{2} : (\frac{1}{2}x + \frac{5}{12}) - \frac{11}{6} = \frac{2}{3}$

2. Теперь изолируем выражение в скобках. Для этого перенесем $\frac{11}{6}$ в правую часть уравнения, изменив знак на противоположный:
$\frac{5}{2} : (\frac{1}{2}x + \frac{5}{12}) = \frac{2}{3} + \frac{11}{6}$

3. Вычислим сумму в правой части. Найдем общий знаменатель для дробей $\frac{2}{3}$ и $\frac{11}{6}$. Общий знаменатель равен 6.
$\frac{2}{3} + \frac{11}{6} = \frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{11}{6} = \frac{4}{6} + \frac{11}{6} = \frac{4+11}{6} = \frac{15}{6}$
Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 3:
$\frac{15}{6} = \frac{5}{2}$
Теперь уравнение имеет вид:
$\frac{5}{2} : (\frac{1}{2}x + \frac{5}{12}) = \frac{5}{2}$

4. В данном уравнении выражение в скобках является делителем. Чтобы найти неизвестный делитель, нужно делимое разделить на частное:
$\frac{1}{2}x + \frac{5}{12} = \frac{5}{2} : \frac{5}{2}$
$\frac{1}{2}x + \frac{5}{12} = 1$

5. Теперь найдем слагаемое с $x$. Перенесем $\frac{5}{12}$ в правую часть:
$\frac{1}{2}x = 1 - \frac{5}{12}$
$\frac{1}{2}x = \frac{12}{12} - \frac{5}{12}$
$\frac{1}{2}x = \frac{7}{12}$

6. Чтобы найти $x$, нужно обе части уравнения умножить на 2:
$x = \frac{7}{12} \cdot 2$
$x = \frac{14}{12}$
Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 2:
$x = \frac{7}{6}$
Можно также представить ответ в виде смешанного числа: $x = 1\frac{1}{6}$.

Ответ: $x = \frac{7}{6}$.

б)

Решим уравнение $3\frac{3}{10} : (\frac{1}{4}x + \frac{5}{12}) - 2\frac{3}{5} = \frac{7}{10}$ по шагам.

1. Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:
$3\frac{3}{10} = \frac{3 \cdot 10 + 3}{10} = \frac{33}{10}$
$2\frac{3}{5} = \frac{2 \cdot 5 + 3}{5} = \frac{13}{5}$
Подставим эти значения в уравнение:
$\frac{33}{10} : (\frac{1}{4}x + \frac{5}{12}) - \frac{13}{5} = \frac{7}{10}$

2. Изолируем выражение в скобках, перенеся $\frac{13}{5}$ в правую часть уравнения с противоположным знаком:
$\frac{33}{10} : (\frac{1}{4}x + \frac{5}{12}) = \frac{7}{10} + \frac{13}{5}$

3. Вычислим сумму в правой части. Общий знаменатель для дробей $\frac{7}{10}$ и $\frac{13}{5}$ равен 10.
$\frac{7}{10} + \frac{13}{5} = \frac{7}{10} + \frac{13 \cdot 2}{5 \cdot 2} = \frac{7}{10} + \frac{26}{10} = \frac{7+26}{10} = \frac{33}{10}$
Теперь уравнение имеет вид:
$\frac{33}{10} : (\frac{1}{4}x + \frac{5}{12}) = \frac{33}{10}$

4. Выражение в скобках — это неизвестный делитель. Найдем его, разделив делимое на частное:
$\frac{1}{4}x + \frac{5}{12} = \frac{33}{10} : \frac{33}{10}$
$\frac{1}{4}x + \frac{5}{12} = 1$

5. Теперь найдем слагаемое с $x$. Перенесем $\frac{5}{12}$ в правую часть:
$\frac{1}{4}x = 1 - \frac{5}{12}$
$\frac{1}{4}x = \frac{12}{12} - \frac{5}{12}$
$\frac{1}{4}x = \frac{7}{12}$

6. Чтобы найти $x$, нужно обе части уравнения умножить на 4:
$x = \frac{7}{12} \cdot 4$
$x = \frac{28}{12}$
Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 4:
$x = \frac{7}{3}$
Можно также представить ответ в виде смешанного числа: $x = 2\frac{1}{3}$.

Ответ: $x = \frac{7}{3}$.