Номер 3, страница 126 - гдз по математике 5 класс сборник задач Пирютко, Терешко

3. Найдите значение выражения:

а) $(1 + \frac{1}{11}) \cdot (1 + \frac{1}{12}) \cdot (1 + \frac{1}{13}) \cdot \ldots \cdot (1 + \frac{1}{40});$

б) $(1 + \frac{1}{25}) \cdot (1 + \frac{1}{26}) \cdot (1 + \frac{1}{27}) \cdot \ldots \cdot (1 + \frac{1}{60}).$

а) Чтобы найти значение выражения $(1+\frac{1}{11})\cdot(1+\frac{1}{12})\cdot(1+\frac{1}{13})\cdot\ldots\cdot(1+\frac{1}{40})$, преобразуем каждый множитель в скобках. Для этого представим единицу в виде дроби с соответствующим знаменателем и сложим дроби.

Общий вид преобразования для каждого множителя: $1+\frac{1}{n} = \frac{n}{n}+\frac{1}{n} = \frac{n+1}{n}$.

Применим это к каждому члену произведения:
$1+\frac{1}{11} = \frac{12}{11}$
$1+\frac{1}{12} = \frac{13}{12}$
$1+\frac{1}{13} = \frac{14}{13}$
...
$1+\frac{1}{40} = \frac{41}{40}$

Теперь запишем все произведение в новом виде:

$\frac{12}{11} \cdot \frac{13}{12} \cdot \frac{14}{13} \cdot \ldots \cdot \frac{41}{40}$

Мы видим, что числитель каждой дроби (кроме последней) равен знаменателю следующей дроби. При умножении эти числа сокращаются. Такой вид произведения называется телескопическим.

$\frac{\cancel{12}}{11} \cdot \frac{\cancel{13}}{\cancel{12}} \cdot \frac{\cancel{14}}{\cancel{13}} \cdot \ldots \cdot \frac{41}{\cancel{40}}$

После выполнения всех сокращений от всего произведения останется только знаменатель первой дроби (11) и числитель последней дроби (41).

Таким образом, значение выражения равно $\frac{41}{11}$. Это можно записать в виде смешанной дроби $3 \frac{8}{11}$.

Ответ: $\frac{41}{11}$

б) Для выражения $(1+\frac{1}{25})\cdot(1+\frac{1}{26})\cdot(1+\frac{1}{27})\cdot\ldots\cdot(1+\frac{1}{60})$ применим тот же самый подход.

Преобразуем каждый множитель, приводя к общему знаменателю:
$1+\frac{1}{25} = \frac{26}{25}$
$1+\frac{1}{26} = \frac{27}{26}$
$1+\frac{1}{27} = \frac{28}{27}$
...
$1+\frac{1}{60} = \frac{61}{60}$

Запишем произведение в виде дробей:

$\frac{26}{25} \cdot \frac{27}{26} \cdot \frac{28}{27} \cdot \ldots \cdot \frac{61}{60}$

Как и в предыдущем примере, числитель каждой дроби сокращается со знаменателем следующей:

$\frac{\cancel{26}}{25} \cdot \frac{\cancel{27}}{\cancel{26}} \cdot \frac{\cancel{28}}{\cancel{27}} \cdot \ldots \cdot \frac{61}{\cancel{60}}$

После сокращения остаются только знаменатель первой дроби (25) и числитель последней дроби (61).

Результат равен $\frac{61}{25}$. Это можно записать как смешанную дробь $2 \frac{11}{25}$ или в виде десятичной дроби $2,44$.

Ответ: $\frac{61}{25}$