Номер 2, страница 126 - гдз по математике 5 класс сборник задач Пирютко, Терешко

2. Найдите значение числового выражения:

а) $(1\frac{1}{4} : 2\frac{1}{2} + 3\frac{3}{7} \cdot 1\frac{5}{9}) : \frac{5}{12} - 8\frac{1}{5};$

б) $(1\frac{2}{7} \cdot \frac{7}{18} - \frac{2}{5} : 1\frac{1}{5}) + 2\frac{2}{5} : 2\frac{2}{15}.$

а)

Решим выражение по действиям, соблюдая порядок операций (сначала действия в скобках, затем деление и вычитание). Внутри скобок сначала выполняются умножение и деление, а затем сложение.

1) Выполним деление в скобках. Для этого преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:

$1\frac{1}{4}:2\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 4 + 1}{4}:\frac{2 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{5}{4}:\frac{5}{2}$

Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй:

$\frac{5}{4} \cdot \frac{2}{5} = \frac{5 \cdot 2}{4 \cdot 5} = \frac{10}{20} = \frac{1}{2}$

2) Выполним умножение в скобках, также преобразовав смешанные числа в неправильные дроби:

$3\frac{3}{7} \cdot 1\frac{5}{9} = \frac{3 \cdot 7 + 3}{7} \cdot \frac{1 \cdot 9 + 5}{9} = \frac{24}{7} \cdot \frac{14}{9}$

Сократим дроби перед умножением:

$\frac{24}{7} \cdot \frac{14}{9} = \frac{24^{\color{blue}8}}{7_{\color{red}1}} \cdot \frac{14^{\color{red}2}}{9_{\color{blue}3}} = \frac{8 \cdot 2}{1 \cdot 3} = \frac{16}{3}$

3) Сложим результаты, полученные в скобках:

$\frac{1}{2} + \frac{16}{3}$

Приведем дроби к общему знаменателю 6:

$\frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 3} + \frac{16 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{3}{6} + \frac{32}{6} = \frac{35}{6}$

4) Теперь выполним деление результата из скобок на $\frac{5}{12}$:

$\frac{35}{6} : \frac{5}{12} = \frac{35}{6} \cdot \frac{12}{5} = \frac{35^{\color{blue}7}}{6_{\color{red}1}} \cdot \frac{12^{\color{red}2}}{5_{\color{blue}1}} = 7 \cdot 2 = 14$

5) И последнее действие — вычитание:

$14 - 8\frac{1}{5} = 13\frac{5}{5} - 8\frac{1}{5} = (13-8) + (\frac{5}{5}-\frac{1}{5}) = 5\frac{4}{5}$

Ответ: $5\frac{4}{5}$

б)

Решим по действиям. Сначала выполняем операции в скобках (умножение и деление, затем вычитание), после этого — деление и сложение за скобками.

1) Выполним умножение в скобках. Преобразуем смешанное число в неправильную дробь:

$1\frac{2}{7} \cdot \frac{7}{18} = \frac{1 \cdot 7 + 2}{7} \cdot \frac{7}{18} = \frac{9}{7} \cdot \frac{7}{18} = \frac{9 \cdot 7}{7 \cdot 18} = \frac{9}{18} = \frac{1}{2}$

2) Выполним деление в скобках:

$\frac{2}{5} : 1\frac{1}{5} = \frac{2}{5} : \frac{1 \cdot 5 + 1}{5} = \frac{2}{5} : \frac{6}{5} = \frac{2}{5} \cdot \frac{5}{6} = \frac{2 \cdot 5}{5 \cdot 6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

3) Вычтем результаты, полученные в скобках:

$\frac{1}{2} - \frac{1}{3}$

Приведем дроби к общему знаменателю 6:

$\frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 3} - \frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{3}{6} - \frac{2}{6} = \frac{1}{6}$

4) Теперь выполним деление за скобками. Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:

$2\frac{2}{5} : 2\frac{2}{15} = \frac{2 \cdot 5 + 2}{5} : \frac{2 \cdot 15 + 2}{15} = \frac{12}{5} : \frac{32}{15}$

Выполним деление, умножив на обратную дробь и сократив:

$\frac{12}{5} \cdot \frac{15}{32} = \frac{12^{\color{blue}3}}{5_{\color{red}1}} \cdot \frac{15^{\color{red}3}}{32_{\color{blue}8}} = \frac{3 \cdot 3}{1 \cdot 8} = \frac{9}{8}$

5) И последнее действие — сложение:

$\frac{1}{6} + \frac{9}{8}$

Приведем дроби к общему знаменателю 24:

$\frac{1 \cdot 4}{6 \cdot 4} + \frac{9 \cdot 3}{8 \cdot 3} = \frac{4}{24} + \frac{27}{24} = \frac{31}{24}$

Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:

$\frac{31}{24} = 1\frac{7}{24}$

Ответ: $1\frac{7}{24}$