Номер 13, страница 128 - гдз по математике 5 класс сборник задач Пирютко, Терешко

13. а) Через первую трубу цистерна наполняется водой за 6 мин, через вторую — за 3 мин, через третью — за 2 мин. За какое время наполнится цистерна, если открыть сразу три трубы?

б) Старинная задача. Лошадь съедает воз сена за месяц, коза — за два месяца, овца — за три месяца. За какое время лошадь, коза и овца вместе съедят такой же воз сена?

в) Старинная задача. Четыре плотника хотят построить дом. Первый плотник может построить дом за год, второй — за 2 года, третий — за 3 года, четвёртый — за 4 года. За какое время они построят дом при совместной работе?

а) Все три задачи решаются по одному принципу. Это задачи на совместную работу. Чтобы их решить, нужно найти производительность (скорость работы) каждого участника, сложить их, а затем найти общее время, разделив всю работу (которую мы принимаем за 1) на общую производительность.
Примем объем всей цистерны за 1.
1. Производительность первой трубы: $v_1 = \frac{1}{6}$ цистерны в минуту.
2. Производительность второй трубы: $v_2 = \frac{1}{3}$ цистерны в минуту.
3. Производительность третьей трубы: $v_3 = \frac{1}{2}$ цистерны в минуту.
Общая производительность трех труб при совместной работе равна сумме их производительностей:$v_{общ} = v_1 + v_2 + v_3 = \frac{1}{6} + \frac{1}{3} + \frac{1}{2}$
Приведем дроби к общему знаменателю 6:$v_{общ} = \frac{1}{6} + \frac{2}{6} + \frac{3}{6} = \frac{1+2+3}{6} = \frac{6}{6} = 1$
Общая производительность составляет 1 цистерну в минуту.
Время $T$, необходимое для наполнения цистерны, равно:$T = \frac{1}{v_{общ}} = \frac{1}{1} = 1$ минута.
Ответ: 1 минута.

б) Примем весь воз сена за 1.
1. Скорость поедания сена лошадью: $v_л = \frac{1}{1} = 1$ воз в месяц.
2. Скорость поедания сена козой: $v_к = \frac{1}{2}$ воза в месяц.
3. Скорость поедания сена овцой: $v_о = \frac{1}{3}$ воза в месяц.
Общая скорость поедания сена всеми животными вместе:$v_{общ} = v_л + v_к + v_о = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3}$
Приведем к общему знаменателю 6:$v_{общ} = \frac{6}{6} + \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{6+3+2}{6} = \frac{11}{6}$
Общая скорость составляет $\frac{11}{6}$ воза в месяц.
Время $T$, за которое они съедят весь воз сена:$T = \frac{1}{v_{общ}} = \frac{1}{11/6} = \frac{6}{11}$ месяца.
Ответ: $\frac{6}{11}$ месяца.

в) Примем всю работу по постройке дома за 1.
1. Производительность первого плотника: $v_1 = \frac{1}{1} = 1$ дом в год.
2. Производительность второго плотника: $v_2 = \frac{1}{2}$ дома в год.
3. Производительность третьего плотника: $v_3 = \frac{1}{3}$ дома в год.
4. Производительность четвертого плотника: $v_4 = \frac{1}{4}$ дома в год.
Общая производительность четырех плотников при совместной работе:$v_{общ} = v_1 + v_2 + v_3 + v_4 = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4}$
Приведем к общему знаменателю 12:$v_{общ} = \frac{12}{12} + \frac{6}{12} + \frac{4}{12} + \frac{3}{12} = \frac{12+6+4+3}{12} = \frac{25}{12}$
Общая производительность составляет $\frac{25}{12}$ дома в год.
Время $T$, которое потребуется для постройки одного дома:$T = \frac{1}{v_{общ}} = \frac{1}{25/12} = \frac{12}{25}$ года.
Ответ: $\frac{12}{25}$ года.