Номер 17, страница 129 - гдз по математике 5 класс сборник задач Пирютко, Терешко

17. Первый комбайн может убрать поле за 16 ч, а второй — за 8 ч. После того как они, работая вместе, убрали $ \frac{1}{4} $ всего поля, второй комбайн сломался и остальную часть поля убирал первый комбайн. За какое время было убрано всё поле?

Примем всю работу по уборке поля за 1.

Найдем производительность каждого комбайна.
Производительность — это часть работы, выполняемая за единицу времени (в данном случае, за 1 час).
Производительность первого комбайна, который убирает поле за 16 часов, составляет $v_1 = \frac{1}{16}$ поля в час.
Производительность второго комбайна, который убирает поле за 8 часов, составляет $v_2 = \frac{1}{8}$ поля в час.

Найдем совместную производительность и время совместной работы.
Когда комбайны работают вместе, их производительности складываются:
$v_{совм} = v_1 + v_2 = \frac{1}{16} + \frac{1}{8} = \frac{1}{16} + \frac{2}{16} = \frac{3}{16}$ поля в час.
По условию, вместе они убрали $\frac{1}{4}$ всего поля. Чтобы найти время, которое они на это затратили, нужно разделить объем работы на совместную производительность:
$t_{совм} = \frac{1/4}{3/16} = \frac{1}{4} \cdot \frac{16}{3} = \frac{16}{12} = \frac{4}{3}$ часа.

Найдем оставшуюся работу и время на ее выполнение.
После совместной работы осталось убрать: $1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ поля.
Эту часть работы выполнял первый комбайн в одиночку. Время, которое ему для этого потребовалось, равно:
$t_{один} = \frac{\text{Оставшаяся работа}}{v_1} = \frac{3/4}{1/16} = \frac{3}{4} \cdot 16 = 3 \cdot 4 = 12$ часов.

Найдем общее время уборки поля.
Общее время — это сумма времени совместной работы и времени, когда первый комбайн работал один:
$T_{общ} = t_{совм} + t_{один} = \frac{4}{3} \text{ ч} + 12 \text{ ч} = 1\frac{1}{3} \text{ ч} + 12 \text{ ч} = 13\frac{1}{3}$ часа.
Переведем дробную часть часа в минуты, зная, что в одном часе 60 минут: $\frac{1}{3} \text{ часа} = \frac{1}{3} \cdot 60 = 20$ минут.
Таким образом, общее время уборки всего поля составило 13 часов 20 минут.

Ответ: за 13 часов 20 минут было убрано всё поле.