Номер 19, страница 130 - гдз по математике 5 класс сборник задач Пирютко, Терешко

19. a) В трёх гаражах 460 машин. Число машин первого гаража составляет $\frac{3}{4}$ числа машин второго гаража, а в третьем гараже машин в $1\frac{1}{2}$ раза больше, чем в первом. Сколько машин в каждом из трёх гаражей?

б) В трёх цехах работает 600 рабочих. В первом цеху рабочих в $1\frac{1}{2}$ раза меньше, чем во втором, а число рабочих третьего цеха составляет $\frac{5}{6}$ числа рабочих второго цеха. Сколько рабочих в каждом цеху?

а)

Для решения задачи введем переменную. Пусть $x$ — это количество машин во втором гараже.
Исходя из условия, число машин в первом гараже составляет $\frac{3}{4}$ от числа машин во втором, то есть $\frac{3}{4}x$.
В третьем гараже машин в $1\frac{1}{2}$ раза больше, чем в первом. Представим $1\frac{1}{2}$ в виде неправильной дроби: $1\frac{1}{2} = \frac{3}{2}$.
Тогда количество машин в третьем гараже равно: $\frac{3}{2} \cdot (\frac{3}{4}x) = \frac{9}{8}x$.
Общее количество машин во всех трех гаражах равно 460. Составим и решим уравнение, сложив количество машин в каждом гараже:
$x + \frac{3}{4}x + \frac{9}{8}x = 460$
Чтобы сложить дроби, приведем их к общему знаменателю 8:
$\frac{8}{8}x + \frac{6}{8}x + \frac{9}{8}x = 460$
$\frac{8+6+9}{8}x = 460$
$\frac{23}{8}x = 460$
Теперь найдем $x$:
$x = 460 : \frac{23}{8} = 460 \cdot \frac{8}{23}$
$x = \frac{460 \cdot 8}{23} = 20 \cdot 8 = 160$
Таким образом, во втором гараже 160 машин.
Найдем количество машин в остальных гаражах:
1. В первом гараже: $\frac{3}{4} \cdot 160 = 3 \cdot 40 = 120$ машин.
2. В третьем гараже: $\frac{9}{8} \cdot 160 = 9 \cdot 20 = 180$ машин.
Проверим результат: $120 + 160 + 180 = 460$. Все верно.

Ответ: в первом гараже 120 машин, во втором — 160 машин, в третьем — 180 машин.

б)

Пусть $y$ — количество рабочих во втором цеху.
В первом цеху, согласно условию, рабочих в $1\frac{1}{2}$ раза меньше, чем во втором. $1\frac{1}{2} = \frac{3}{2}$.
Это означает, что количество рабочих в первом цеху равно: $y : \frac{3}{2} = y \cdot \frac{2}{3} = \frac{2}{3}y$.
Число рабочих в третьем цеху составляет $\frac{5}{6}$ от числа рабочих во втором, то есть $\frac{5}{6}y$.
Всего в трех цехах работает 600 человек. Составим и решим уравнение:
$\frac{2}{3}y + y + \frac{5}{6}y = 600$
Приведем все слагаемые к общему знаменателю 6:
$\frac{4}{6}y + \frac{6}{6}y + \frac{5}{6}y = 600$
$\frac{4+6+5}{6}y = 600$
$\frac{15}{6}y = 600$
Сократим дробь $\frac{15}{6}$ на 3: $\frac{15:3}{6:3} = \frac{5}{2}$.
$\frac{5}{2}y = 600$
Теперь найдем $y$:
$y = 600 : \frac{5}{2} = 600 \cdot \frac{2}{5}$
$y = \frac{600 \cdot 2}{5} = 120 \cdot 2 = 240$
Итак, во втором цеху работает 240 рабочих.
Найдем количество рабочих в других цехах:
1. В первом цеху: $\frac{2}{3} \cdot 240 = 2 \cdot 80 = 160$ рабочих.
2. В третьем цеху: $\frac{5}{6} \cdot 240 = 5 \cdot 40 = 200$ рабочих.
Проверим результат: $160 + 240 + 200 = 600$. Все верно.

Ответ: в первом цеху 160 рабочих, во втором — 240 рабочих, в третьем — 200 рабочих.