Номер 16, страница 129 - гдз по математике 5 класс сборник задач Пирютко, Терешко

16. Два программиста, работая вместе, могут выполнить некоторую работу за 6 ч. Если оба программиста будут работать вместе только 3 ч, после чего один из них прекратит работу, то второму программисту для завершения работы понадобится ещё 5 ч. За сколько часов может выполнить эту работу каждый программист, работая отдельно?

Примем весь объем работы за 1.
Пусть $t_1$ — это время в часах, за которое первый программист выполняет всю работу, а $t_2$ — время в часах, за которое второй программист выполняет всю работу.
Тогда производительность (часть работы, выполняемая за час) первого программиста равна $p_1 = 1/t_1$, а второго — $p_2 = 1/t_2$.

Из первого условия, что работая вместе, они выполняют работу за 6 часов, следует, что их совместная производительность $p_1 + p_2$ позволяет выполнить работу за 6 часов. Составим первое уравнение:
$(p_1 + p_2) \cdot 6 = 1$
$1/t_1 + 1/t_2 = 1/6$

Из второго условия, они работают вместе 3 часа, после чего второй программист работает один еще 5 часов для завершения работы. За 3 часа совместной работы они выполнят часть работы, равную $3 \cdot (p_1 + p_2)$. Затем второй программист один за 5 часов выполнит часть работы, равную $5 \cdot p_2$. В сумме эти две части составляют всю работу. Составим второе уравнение:
$3 \cdot (1/t_1 + 1/t_2) + 5 \cdot (1/t_2) = 1$

Получаем систему из двух уравнений:
$ \begin{cases} 1/t_1 + 1/t_2 = 1/6 \\ 3(1/t_1 + 1/t_2) + 5/t_2 = 1 \end{cases} $
Подставим выражение для $(1/t_1 + 1/t_2)$ из первого уравнения во второе:
$3 \cdot (1/6) + 5/t_2 = 1$
$1/2 + 5/t_2 = 1$
$5/t_2 = 1 - 1/2$
$5/t_2 = 1/2$
$t_2 = 5 \cdot 2 = 10$
Таким образом, второй программист может выполнить всю работу за 10 часов.

Теперь найдем время $t_1$ для первого программиста, подставив найденное значение $t_2=10$ в первое уравнение системы:
$1/t_1 + 1/10 = 1/6$
$1/t_1 = 1/6 - 1/10$
Приведем дроби к общему знаменателю 30:
$1/t_1 = 5/30 - 3/30$
$1/t_1 = 2/30$
$1/t_1 = 1/15$
$t_1 = 15$
Следовательно, первый программист может выполнить всю работу за 15 часов.

Ответ: один программист может выполнить эту работу за 15 часов, а другой — за 10 часов.