Номер 12, страница 127 - гдз по математике 5 класс сборник задач Пирютко, Терешко

12. а) Две уборочные машины, работая одновременно, могут очистить улицу за 2 ч. Если будет работать только первая машина, то она сможет убрать улицу за 3 ч. За сколько часов может убрать эту улицу вторая машина?

б) Краны с горячей и холодной водой наполняют ванну за 6 мин, а через кран только с холодной водой ванна наполнится за 18 мин. За какое время наполнится ванна, если включить только кран с горячей водой?

в) Старинная задача. Один человек выпивает бочонок кваса за 14 дней, а вместе с женой выпивает такой же бочонок кваса за 10 дней. Нужно узнать, за сколько дней жена одна выпивает такой же бочонок кваса.

а)

Это задача на совместную работу. Общий принцип решения таких задач заключается в том, чтобы найти производительность (скорость выполнения работы) каждого участника, а затем использовать эти данные для ответа на вопрос задачи.
1. Примем всю работу по очистке улицы за 1 (одну целую).
2. Найдем общую производительность двух машин. Раз они вместе убирают улицу за 2 часа, их общая производительность $P_{общ}$ составляет:
$P_{общ} = \frac{1}{2}$ (улицы в час).
3. Найдем производительность первой машины. Так как она одна убирает улицу за 3 часа, ее производительность $P_1$ равна:
$P_1 = \frac{1}{3}$ (улицы в час).
4. Общая производительность равна сумме производительностей каждой машины: $P_{общ} = P_1 + P_2$, где $P_2$ — производительность второй машины. Чтобы найти производительность второй машины, нужно из общей производительности вычесть производительность первой:
$P_2 = P_{общ} - P_1 = \frac{1}{2} - \frac{1}{3}$.
5. Приведем дроби к общему знаменателю 6:
$P_2 = \frac{3}{6} - \frac{2}{6} = \frac{1}{6}$ (улицы в час).
6. Теперь, зная производительность второй машины ($ \frac{1}{6} $ улицы в час), мы можем найти время $t_2$, за которое она одна уберет всю улицу. Для этого нужно всю работу (1) разделить на производительность второй машины:
$t_2 = \frac{1}{P_2} = \frac{1}{\frac{1}{6}} = 1 \cdot 6 = 6$ часов.
Ответ: 6 часов.

б)

Задача решается по аналогии с предыдущей.
1. Примем весь объем ванны за 1.
2. Производительность (скорость наполнения) двух кранов вместе (горячего и холодного) составляет $P_{общ}$. Они наполняют ванну за 6 минут, значит:
$P_{общ} = \frac{1}{6}$ (ванны в минуту).
3. Производительность крана с холодной водой $P_{хол}$ известна. Он один наполняет ванну за 18 минут:
$P_{хол} = \frac{1}{18}$ (ванны в минуту).
4. Общая производительность — это сумма производительностей двух кранов: $P_{общ} = P_{гор} + P_{хол}$. Найдем производительность крана с горячей водой $P_{гор}$:
$P_{гор} = P_{общ} - P_{хол} = \frac{1}{6} - \frac{1}{18}$.
5. Приведем дроби к общему знаменателю 18:
$P_{гор} = \frac{3}{18} - \frac{1}{18} = \frac{2}{18} = \frac{1}{9}$ (ванны в минуту).
6. Зная производительность крана с горячей водой, найдем время $t_{гор}$, за которое он наполнит ванну:
$t_{гор} = \frac{1}{P_{гор}} = \frac{1}{\frac{1}{9}} = 9$ минут.
Ответ: 9 минут.

в)

Эта старинная задача также решается через нахождение производительности.
1. Примем весь объем бочонка кваса за 1.
2. Найдем общую производительность (скорость выпивания) человека и его жены. Вместе они выпивают бочонок за 10 дней, значит, их общая производительность $P_{общ}$ равна:
$P_{общ} = \frac{1}{10}$ (бочонка в день).
3. Найдем производительность человека. Он один выпивает бочонок за 14 дней, следовательно, его производительность $P_{чел}$ равна:
$P_{чел} = \frac{1}{14}$ (бочонка в день).
4. Общая производительность складывается из производительности человека и производительности жены ($P_{жены}$): $P_{общ} = P_{чел} + P_{жены}$. Чтобы найти производительность жены, вычтем из общей производительности производительность человека:
$P_{жены} = P_{общ} - P_{чел} = \frac{1}{10} - \frac{1}{14}$.
5. Найдем общий знаменатель для 10 и 14. Наименьшее общее кратное — 70.
$P_{жены} = \frac{7}{70} - \frac{5}{70} = \frac{2}{70} = \frac{1}{35}$ (бочонка в день).
6. Зная, что жена выпивает $\frac{1}{35}$ бочонка в день, найдем время $t_{жены}$, за которое она одна выпьет весь бочонок:
$t_{жены} = \frac{1}{P_{жены}} = \frac{1}{\frac{1}{35}} = 35$ дней.
Ответ: 35 дней.