Номер 15, страница 129 - гдз по математике 5 класс сборник задач Пирютко, Терешко

15. a) Одна труба заполняет бассейн за 12 ч, а другая — за 16 ч. Бассейн должен быть заполнен на $ \frac{3}{4} $. Какую часть бассейна останется заполнить после 4 ч одновременной работы двух труб?

б) Одна труба заполняет бассейн за 10 ч, а другая — за 8 ч. Бассейн должен быть заполнен на $ \frac{4}{5} $. Какую часть бассейна останется заполнить после 3 ч одновременной работы двух труб?

а)

1. Определим производительность каждой трубы, то есть какую часть бассейна она заполняет за один час.
Производительность первой трубы: $P_1 = \frac{1}{12}$ бассейна в час.
Производительность второй трубы: $P_2 = \frac{1}{16}$ бассейна в час.

2. Найдем общую производительность двух труб при одновременной работе, сложив их индивидуальные производительности.
$P_{общ} = P_1 + P_2 = \frac{1}{12} + \frac{1}{16}$
Чтобы сложить дроби, приведем их к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для 12 и 16 равно 48.
$P_{общ} = \frac{1 \cdot 4}{12 \cdot 4} + \frac{1 \cdot 3}{16 \cdot 3} = \frac{4}{48} + \frac{3}{48} = \frac{7}{48}$ бассейна в час.

3. Теперь вычислим, какая часть бассейна будет заполнена за 4 часа совместной работы.
Объем работы = общая производительность × время.
$V_{заполнено} = P_{общ} \times t = \frac{7}{48} \times 4 = \frac{28}{48}$
Сократим полученную дробь: $\frac{28}{48} = \frac{7 \cdot 4}{12 \cdot 4} = \frac{7}{12}$.
Таким образом, за 4 часа будет заполнено $\frac{7}{12}$ бассейна.

4. По условию, бассейн должен быть заполнен на $\frac{3}{4}$. Чтобы найти, какую часть осталось заполнить, вычтем из целевого объема уже заполненный.
$V_{осталось} = V_{цель} - V_{заполнено} = \frac{3}{4} - \frac{7}{12}$
Приведем дробь $\frac{3}{4}$ к знаменателю 12: $\frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{9}{12}$.
$V_{осталось} = \frac{9}{12} - \frac{7}{12} = \frac{2}{12}$
Сократим итоговую дробь: $\frac{2}{12} = \frac{1}{6}$.

Ответ: останется заполнить $\frac{1}{6}$ часть бассейна.

б)

1. Определим производительность каждой трубы.
Производительность первой трубы: $P_1 = \frac{1}{10}$ бассейна в час.
Производительность второй трубы: $P_2 = \frac{1}{8}$ бассейна в час.

2. Найдем их общую производительность при совместной работе.
$P_{общ} = P_1 + P_2 = \frac{1}{10} + \frac{1}{8}$
Наименьшее общее кратное для 10 и 8 равно 40.
$P_{общ} = \frac{1 \cdot 4}{10 \cdot 4} + \frac{1 \cdot 5}{8 \cdot 5} = \frac{4}{40} + \frac{5}{40} = \frac{9}{40}$ бассейна в час.

3. Вычислим, какая часть бассейна будет заполнена за 3 часа совместной работы.
$V_{заполнено} = P_{общ} \times t = \frac{9}{40} \times 3 = \frac{27}{40}$.
За 3 часа будет заполнено $\frac{27}{40}$ бассейна.

4. Бассейн должен быть заполнен на $\frac{4}{5}$. Найдем, какую часть осталось заполнить.
$V_{осталось} = V_{цель} - V_{заполнено} = \frac{4}{5} - \frac{27}{40}$
Приведем дробь $\frac{4}{5}$ к знаменателю 40: $\frac{4}{5} = \frac{4 \cdot 8}{5 \cdot 8} = \frac{32}{40}$.
$V_{осталось} = \frac{32}{40} - \frac{27}{40} = \frac{5}{40}$
Сократим полученную дробь: $\frac{5}{40} = \frac{1}{8}$.

Ответ: останется заполнить $\frac{1}{8}$ часть бассейна.