Номер 14, страница 128 - гдз по математике 5 класс сборник задач Пирютко, Терешко

14. а) Велосипедист и мотоциклист выехали навстречу друг другу по дороге, соединяющей два посёлка. Велосипедист проезжает расстояние между посёлками за 5 ч, мотоциклист — за 3 ч. Сколько времени они будут двигаться до встречи?

б) Два самолёта вылетели из двух городов одновременно навстречу друг другу. Один самолёт на перелёт между городами затрачивает 5 ч, а второй — 8 ч. Через сколько часов самолёты окажутся над одним пунктом?

в) Два автомобиля выехали одновременно навстречу друг другу из двух городов. Первый автомобиль может проехать всю автотрассу за $3\frac{1}{3}$ ч, а второй — за $2\frac{2}{9}$ ч. Сколько времени будут двигаться автомобили до встречи?

а)

Этот тип задач удобно решать, приняв всё расстояние за единицу (1). Тогда скорость каждого участника движения будет выражаться как часть расстояния, которую он преодолевает за час.

1. Велосипедист проезжает всё расстояние за 5 часов, значит, его скорость $v_1$ равна $\frac{1}{5}$ всего расстояния в час.

2. Мотоциклист проезжает всё расстояние за 3 часа, значит, его скорость $v_2$ равна $\frac{1}{3}$ всего расстояния в час.

3. Поскольку они движутся навстречу друг другу, их скорости складываются. Найдём их общую скорость сближения $v_{сбл}$:
$v_{сбл} = v_1 + v_2 = \frac{1}{5} + \frac{1}{3}$
Приводим дроби к общему знаменателю 15:
$v_{сбл} = \frac{3}{15} + \frac{5}{15} = \frac{8}{15}$ расстояния в час.

4. Чтобы найти время до встречи $t$, нужно всё расстояние (1) разделить на скорость сближения:
$t = 1 \div v_{сбл} = 1 \div \frac{8}{15} = 1 \cdot \frac{15}{8} = \frac{15}{8}$ часа.

5. Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:
$\frac{15}{8} = 1\frac{7}{8}$ часа.
(Это 1 час и $\frac{7}{8} \cdot 60 = 52.5$ минуты, или 1 час 52 минуты 30 секунд).

Ответ: они будут двигаться до встречи $1\frac{7}{8}$ часа.

б)

Решаем задачу аналогично предыдущей, приняв расстояние между городами за 1.

1. Скорость первого самолёта $v_1$ (он тратит на весь путь 5 часов) равна $\frac{1}{5}$ расстояния в час.

2. Скорость второго самолёта $v_2$ (он тратит на весь путь 8 часов) равна $\frac{1}{8}$ расстояния в час.

3. Самолёты летят навстречу друг другу, поэтому их скорость сближения $v_{сбл}$ равна сумме скоростей:
$v_{сбл} = v_1 + v_2 = \frac{1}{5} + \frac{1}{8}$
Приводим дроби к общему знаменателю 40:
$v_{сбл} = \frac{8}{40} + \frac{5}{40} = \frac{13}{40}$ расстояния в час.

4. Найдём время $t$, через которое они окажутся над одним пунктом (встретятся), разделив расстояние (1) на скорость сближения:
$t = 1 \div v_{сбл} = 1 \div \frac{13}{40} = 1 \cdot \frac{40}{13} = \frac{40}{13}$ часа.

5. Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:
$\frac{40}{13} = 3\frac{1}{13}$ часа.

Ответ: самолёты окажутся над одним пунктом через $3\frac{1}{13}$ часа.

в)

Снова используем метод решения "через единицу".

1. Сначала представим время движения каждого автомобиля в виде неправильных дробей:
Время первого автомобиля: $t_1 = 3\frac{1}{3} = \frac{3 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{10}{3}$ часа.
Время второго автомобиля: $t_2 = 2\frac{2}{9} = \frac{2 \cdot 9 + 2}{9} = \frac{20}{9}$ часа.

2. Найдём скорости автомобилей как долю автотрассы, проходимую за час:
Скорость первого автомобиля: $v_1 = 1 \div t_1 = 1 \div \frac{10}{3} = \frac{3}{10}$ трассы в час.
Скорость второго автомобиля: $v_2 = 1 \div t_2 = 1 \div \frac{20}{9} = \frac{9}{20}$ трассы в час.

3. Найдём скорость сближения автомобилей $v_{сбл}$, сложив их скорости:
$v_{сбл} = v_1 + v_2 = \frac{3}{10} + \frac{9}{20}$
Приводим дроби к общему знаменателю 20:
$v_{сбл} = \frac{3 \cdot 2}{20} + \frac{9}{20} = \frac{6}{20} + \frac{9}{20} = \frac{15}{20}$ трассы в час.
Сократим полученную дробь: $\frac{15}{20} = \frac{3}{4}$.

4. Найдём время до встречи $t$, разделив всю трассу (1) на скорость сближения:
$t = 1 \div v_{сбл} = 1 \div \frac{3}{4} = 1 \cdot \frac{4}{3} = \frac{4}{3}$ часа.

5. Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:
$\frac{4}{3} = 1\frac{1}{3}$ часа.
(Это 1 час и $\frac{1}{3} \cdot 60 = 20$ минут).

Ответ: автомобили будут двигаться до встречи $1\frac{1}{3}$ часа.