Номер 18, страница 130 - гдз по математике 5 класс сборник задач Пирютко, Терешко

18. a) Сумма двух чисел $6\frac{3}{4}$. Найдите эти числа, если известно, что одно из них в $3\frac{1}{2}$ раза больше другого.

б) Верёвку длиной 34 м разрезали на два куска так, что один из них оказался в $4\frac{2}{3}$ раза больше другого. Найдите длину каждого куска.

в) В двух ящиках 54 кг гвоздей. Сколько килограммов гвоздей в каждом ящике, если известно, что в одном ящике их в $2\frac{3}{5}$ раза больше, чем в другом?

а)

Обозначим меньшее число через $x$. Тогда второе, большее число, будет равно $3\frac{1}{2}x$. Сумма этих двух чисел по условию равна $6\frac{3}{4}$.

Составим уравнение:

$x + 3\frac{1}{2}x = 6\frac{3}{4}$

Для решения уравнения представим смешанные числа в виде неправильных дробей:

$3\frac{1}{2} = \frac{3 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{7}{2}$

$6\frac{3}{4} = \frac{6 \cdot 4 + 3}{4} = \frac{27}{4}$

Подставим эти дроби в уравнение:

$x + \frac{7}{2}x = \frac{27}{4}$

Вынесем $x$ за скобки:

$(1 + \frac{7}{2})x = \frac{27}{4}$

$(\frac{2}{2} + \frac{7}{2})x = \frac{27}{4}$

$\frac{9}{2}x = \frac{27}{4}$

Найдем $x$:

$x = \frac{27}{4} \div \frac{9}{2} = \frac{27}{4} \cdot \frac{2}{9} = \frac{3 \cdot 9 \cdot 2}{2 \cdot 2 \cdot 9} = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2}$

Итак, меньшее число равно $1\frac{1}{2}$.

Теперь найдем второе (большее) число:

$3\frac{1}{2} \cdot 1\frac{1}{2} = \frac{7}{2} \cdot \frac{3}{2} = \frac{21}{4} = 5\frac{1}{4}$

Проверка: $1\frac{1}{2} + 5\frac{1}{4} = \frac{3}{2} + \frac{21}{4} = \frac{6}{4} + \frac{21}{4} = \frac{27}{4} = 6\frac{3}{4}$. Всё верно.

Ответ: $1\frac{1}{2}$ и $5\frac{1}{4}$.

б)

Пусть длина меньшего куска веревки составляет $x$ метров. Тогда длина большего куска, который в $4\frac{2}{3}$ раза больше, будет $4\frac{2}{3}x$ метров. Общая длина веревки — 34 метра.

Составим уравнение:

$x + 4\frac{2}{3}x = 34$

Переведем смешанное число в неправильную дробь:

$4\frac{2}{3} = \frac{4 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{14}{3}$

Подставим в уравнение:

$x + \frac{14}{3}x = 34$

$(1 + \frac{14}{3})x = 34$

$(\frac{3}{3} + \frac{14}{3})x = 34$

$\frac{17}{3}x = 34$

Найдем $x$:

$x = 34 \div \frac{17}{3} = 34 \cdot \frac{3}{17} = \frac{2 \cdot 17 \cdot 3}{17} = 6$

Длина меньшего куска равна 6 метров.

Найдем длину большего куска:

$4\frac{2}{3} \cdot 6 = \frac{14}{3} \cdot 6 = 14 \cdot 2 = 28$ метров.

Проверка: $6 + 28 = 34$ метра. Всё верно.

Ответ: 6 м и 28 м.

в)

Пусть в одном (меньшем) ящике $x$ кг гвоздей. Тогда в другом ящике, где гвоздей в $2\frac{3}{5}$ раза больше, находится $2\frac{3}{5}x$ кг гвоздей. Общий вес гвоздей в двух ящиках — 54 кг.

Составим уравнение:

$x + 2\frac{3}{5}x = 54$

Переведем смешанное число в неправильную дробь:

$2\frac{3}{5} = \frac{2 \cdot 5 + 3}{5} = \frac{13}{5}$

Подставим в уравнение:

$x + \frac{13}{5}x = 54$

$(1 + \frac{13}{5})x = 54$

$(\frac{5}{5} + \frac{13}{5})x = 54$

$\frac{18}{5}x = 54$

Найдем $x$:

$x = 54 \div \frac{18}{5} = 54 \cdot \frac{5}{18} = \frac{3 \cdot 18 \cdot 5}{18} = 15$

В одном ящике 15 кг гвоздей.

Найдем вес гвоздей во втором ящике:

$2\frac{3}{5} \cdot 15 = \frac{13}{5} \cdot 15 = 13 \cdot 3 = 39$ кг.

Проверка: $15 + 39 = 54$ кг. Всё верно.

Ответ: 15 кг и 39 кг.