Номер 10, страница 134 - гдз по математике 5 класс сборник задач Пирютко, Терешко

10. а) Автотурист в первый день проехал $\frac{8}{25}$ намеченного пути, во второй — $\frac{19}{50}$ пути, а в третий — остальные 720 км. Сколько километров проехал автотурист?

б) Велосипедисты вели гонку в течение трёх дней. В первый день они проехали $\frac{4}{15}$ всего пути, во второй — $\frac{2}{5}$, а в третий — оставшиеся 100 км. Какой путь проехали велосипедисты за 3 дня?

в) Готовясь к олимпиаде по математике, учащийся решил $\frac{1}{3}$ задач повышенной сложности, рекомендованных учителем. Если он решит ещё 14 задач, то будет решено $\frac{16}{27}$ всех задач. Сколько всего задач надо решить?

1. Найдем, какую часть пути автотурист проехал за первые два дня. Для этого сложим доли пути, пройденные в первый и второй дни:

$\frac{8}{25} + \frac{19}{50} = \frac{8 \cdot 2}{25 \cdot 2} + \frac{19}{50} = \frac{16}{50} + \frac{19}{50} = \frac{35}{50}$

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 5:

$\frac{35}{50} = \frac{7}{10}$

Таким образом, за два дня автотурист проехал $\frac{7}{10}$ всего пути.

2. Определим, какая часть пути осталась на третий день. Для этого вычтем из всего пути (принятого за 1) часть, пройденную за первые два дня:

$1 - \frac{7}{10} = \frac{10}{10} - \frac{7}{10} = \frac{3}{10}$

3. Из условия известно, что оставшаяся часть пути составляет 720 км. Следовательно, $\frac{3}{10}$ всего пути равны 720 км. Чтобы найти весь путь, разделим это расстояние на соответствующую ему долю:

$720 \div \frac{3}{10} = 720 \cdot \frac{10}{3} = \frac{7200}{3} = 2400$ км.

Ответ: 2400 км.

1. Найдем, какую часть всего пути велосипедисты проехали за первые два дня гонки. Сложим соответствующие доли:

$\frac{4}{15} + \frac{2}{5} = \frac{4}{15} + \frac{2 \cdot 3}{5 \cdot 3} = \frac{4}{15} + \frac{6}{15} = \frac{10}{15}$

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 5:

$\frac{10}{15} = \frac{2}{3}$

Итак, за два дня было пройдено $\frac{2}{3}$ всего пути.

2. Вычислим, какая часть пути осталась на третий день. Для этого из целого (1) вычтем пройденную часть:

$1 - \frac{2}{3} = \frac{3}{3} - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$

3. По условию, оставшийся путь равен 100 км. Значит, $\frac{1}{3}$ всего пути составляет 100 км. Чтобы найти весь путь, нужно разделить 100 км на соответствующую долю:

$100 \div \frac{1}{3} = 100 \cdot 3 = 300$ км.

Ответ: 300 км.

Пусть $z$ — общее количество задач. Учащийся уже решил $\frac{1}{3}$ всех задач, то есть $\frac{1}{3}z$.

Если он решит еще 14 задач, то общее число решенных задач станет $\frac{1}{3}z + 14$. По условию, это количество будет равно $\frac{16}{27}$ всех задач, то есть $\frac{16}{27}z$.

Составим уравнение:

$\frac{1}{3}z + 14 = \frac{16}{27}z$

Для решения уравнения найдем, какую долю от общего числа задач составляют эти 14 задач. Эта доля равна разнице между $\frac{16}{27}$ и $\frac{1}{3}$:

$\frac{16}{27} - \frac{1}{3} = \frac{16}{27} - \frac{1 \cdot 9}{3 \cdot 9} = \frac{16}{27} - \frac{9}{27} = \frac{7}{27}$

Таким образом, 14 задач составляют $\frac{7}{27}$ от общего количества задач. Теперь мы можем найти общее количество задач $z$, разделив 14 на соответствующую ему дробь:

$z = 14 \div \frac{7}{27} = 14 \cdot \frac{27}{7} = 2 \cdot 27 = 54$ задачи.

Ответ: 54 задачи.