Номер 16, страница 137 - гдз по математике 5 класс сборник задач Пирютко, Терешко

16. Из пункта А в пункт В выехал велосипедист со скоростью $12\frac{1}{2}$ км/ч. Спустя 24 мин навстречу ему по той же дороге из пункта В выехал другой велосипедист, скорость которого на $\frac{7}{10}$ км/ч меньше скорости первого велосипедиста. На каком расстоянии от пункта А велосипедисты встретятся, если $\frac{3}{5}$ расстояния от А до В составляют $27\frac{3}{10}$ км?

Для решения задачи выполним следующие действия:

1. Найдем скорость второго велосипедиста.

Скорость первого велосипедиста $v_1 = 12\frac{1}{2}$ км/ч. Переведем в неправильную дробь: $v_1 = \frac{12 \times 2 + 1}{2} = \frac{25}{2}$ км/ч.

Скорость второго велосипедиста на $\frac{7}{10}$ км/ч меньше, значит:

$v_2 = v_1 - \frac{7}{10} = \frac{25}{2} - \frac{7}{10}$

Приведем дроби к общему знаменателю 10:

$v_2 = \frac{25 \times 5}{2 \times 5} - \frac{7}{10} = \frac{125}{10} - \frac{7}{10} = \frac{118}{10} = \frac{59}{5} = 11\frac{4}{5}$ км/ч.

2. Найдем расстояние, которое проехал первый велосипедист до выезда второго.

Второй велосипедист выехал на 24 минуты позже. Переведем это время в часы:

$t_{форы} = 24 \text{ мин} = \frac{24}{60} \text{ ч} = \frac{2}{5}$ ч.

За это время первый велосипедист проехал расстояние $S_1'$:

$S_1' = v_1 \times t_{форы} = \frac{25}{2} \times \frac{2}{5} = \frac{50}{10} = 5$ км.

3. Найдем расстояние между велосипедистами в момент выезда второго.

Общее расстояние между пунктами А и В составляет $S = 27\frac{3}{10} = \frac{273}{10}$ км.

Когда второй велосипедист начал движение, расстояние между ними сократилось на то, что проехал первый:

$S_{ост} = S - S_1' = \frac{273}{10} - 5 = \frac{273}{10} - \frac{50}{10} = \frac{223}{10}$ км.

4. Найдем скорость сближения велосипедистов.

Так как велосипедисты движутся навстречу друг другу, их скорости складываются:

$v_{сбл} = v_1 + v_2 = \frac{25}{2} + \frac{118}{10} = \frac{125}{10} + \frac{118}{10} = \frac{243}{10}$ км/ч.

5. Найдем время, через которое велосипедисты встретятся после выезда второго.

Это время $t_{встр}$ можно найти, разделив оставшееся расстояние на скорость сближения:

$t_{встр} = \frac{S_{ост}}{v_{сбл}} = \frac{\frac{223}{10}}{\frac{243}{10}} = \frac{223}{243}$ ч.

6. Найдем, на каком расстоянии от пункта А произойдет встреча.

Это расстояние равно общему пути, который проехал первый велосипедист. Он состоит из расстояния, которое он проехал за первые 24 минуты, и расстояния, которое он проехал до встречи после выезда второго велосипедиста.

Расстояние, которое проехал первый велосипедист после выезда второго: $S_{1''} = v_1 \times t_{встр} = \frac{25}{2} \times \frac{223}{243} = \frac{5575}{486}$ км.

Общее расстояние от пункта А:

$S_A = S_1' + S_{1''} = 5 + \frac{5575}{486} = \frac{5 \times 486}{486} + \frac{5575}{486} = \frac{2430 + 5575}{486} = \frac{8005}{486}$ км.

Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:

$8005 \div 486 = 16$ (остаток $8005 - 16 \times 486 = 8005 - 7776 = 229$).

Таким образом, расстояние от пункта А до места встречи равно $16\frac{229}{486}$ км.

Ответ: велосипедисты встретятся на расстоянии $16\frac{229}{486}$ км от пункта А.