Номер 20, страница 138 - гдз по математике 5 класс сборник задач Пирютко, Терешко

20. Учащийся читал книгу три дня. В первый день он прочитал $\frac{1}{5}$ всей книги и ещё 4 страницы, во второй день $-\frac{3}{8}$ остатка и ещё 10 страниц.

В третий день $-\frac{2}{3}$ остатка и последние 20 страниц. Сколько всего страниц в книге?

Для решения этой задачи будем действовать в обратном порядке, анализируя каждый день с последнего до первого.

Учащийся прочитал $ \frac{2}{3} $ остатка и последние 20 страниц, после чего книга закончилась. Это означает, что 20 страниц – это та часть, которая осталась после прочтения $ \frac{2}{3} $ от остатка, имевшегося к началу третьего дня. Эта часть составляет:

$ 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3} $

Таким образом, $ \frac{1}{3} $ остатка равна 20 страницам. Чтобы найти весь остаток, который был к началу третьего дня (и, соответственно, в конце второго), нужно:

$ 20 \div \frac{1}{3} = 20 \times 3 = 60 $ страниц.

Учащийся прочитал $ \frac{3}{8} $ остатка после первого дня и еще 10 страниц. Мы выяснили, что после этого осталось 60 страниц. Значит, 60 страниц вместе с этими 10 страницами составляют ту часть, которая осталась после прочтения $ \frac{3}{8} $ от остатка, имевшегося к началу второго дня. Эта часть составляет:

$ 1 - \frac{3}{8} = \frac{5}{8} $

Следовательно, $ \frac{5}{8} $ остатка равны $ 60 + 10 = 70 $ страницам. Чтобы найти весь остаток, который был к началу второго дня (и в конце первого), нужно:

$ 70 \div \frac{5}{8} = 70 \times \frac{8}{5} = \frac{560}{5} = 112 $ страниц.

Учащийся прочитал $ \frac{1}{5} $ всей книги и еще 4 страницы. Мы выяснили, что после этого осталось 112 страниц. Значит, 112 страниц вместе с этими 4 страницами составляют ту часть, которая осталась после прочтения $ \frac{1}{5} $ всей книги. Эта часть составляет:

$ 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5} $

Следовательно, $ \frac{4}{5} $ от общего количества страниц в книге равны $ 112 + 4 = 116 $ страницам. Чтобы найти общее количество страниц во всей книге, нужно:

$ 116 \div \frac{4}{5} = 116 \times \frac{5}{4} = \frac{580}{4} = 145 $ страниц.

Для уверенности можно выполнить проверку:

1. Всего в книге 145 страниц.

2. Первый день: прочитано $ \frac{1}{5} \times 145 + 4 = 29 + 4 = 33 $ страницы. Осталось: $ 145 - 33 = 112 $ страниц.

3. Второй день: прочитано $ \frac{3}{8} \times 112 + 10 = 42 + 10 = 52 $ страницы. Осталось: $ 112 - 52 = 60 $ страниц.

4. Третий день: прочитано $ \frac{2}{3} \times 60 + 20 = 40 + 20 = 60 $ страниц. Осталось: $ 60 - 60 = 0 $ страниц.

Расчеты верны.

Ответ: 145 страниц.