Номер 15, страница 137 - гдз по математике 5 класс сборник задач Пирютко, Терешко

15. Два поезда идут навстречу друг другу из двух городов, протяжённость железной дороги между которыми равна 1230 км. Скорость первого поезда равна 75 км/ч, что составляет $ \frac{5}{6} $ скорости второго. Второй поезд вышел на $ 3\frac{1}{5} $ ч позже первого. Через сколько часов после выхода второго поезда они встретятся?

Для решения задачи выполним последовательно несколько действий.

1. Найдём скорость второго поезда.

Из условия известно, что скорость первого поезда ($v_1 = 75$ км/ч) составляет $ \frac{5}{6} $ скорости второго поезда ($v_2$). Составим уравнение:

$75 = \frac{5}{6} \cdot v_2$

Чтобы найти $v_2$, нужно 75 разделить на дробь $ \frac{5}{6} $:

$v_2 = 75 \div \frac{5}{6} = 75 \cdot \frac{6}{5} = \frac{75 \cdot 6}{5} = 15 \cdot 6 = 90$ (км/ч).

Таким образом, скорость второго поезда равна 90 км/ч.

2. Найдём расстояние, которое проехал первый поезд до выезда второго.

Второй поезд отправился в путь на $3\frac{1}{5}$ часа позже первого. В течение этого времени первый поезд двигался в одиночку. Переведем смешанное число в десятичную дробь для удобства вычислений:

$3\frac{1}{5} \text{ ч} = 3.2 \text{ ч}$

Теперь рассчитаем расстояние $S_1$, которое преодолел первый поезд за 3.2 часа:

$S_1 = v_1 \cdot t = 75 \text{ км/ч} \cdot 3.2 \text{ ч} = 240$ км.

3. Найдём расстояние между поездами в момент выезда второго поезда.

Изначальное расстояние между городами составляло 1230 км. После того как первый поезд проехал 240 км, расстояние между поездами сократилось. Найдём оставшееся расстояние $S_{ост}$:

$S_{ост} = 1230 \text{ км} - 240 \text{ км} = 990$ км.

4. Найдём скорость сближения поездов.

Поскольку поезда движутся навстречу друг другу, их скорости складываются. Скорость сближения $v_{сбл}$ равна сумме скоростей первого и второго поездов:

$v_{сбл} = v_1 + v_2 = 75 \text{ км/ч} + 90 \text{ км/ч} = 165$ км/ч.

5. Найдём, через сколько часов поезда встретятся после выезда второго поезда.

Чтобы найти искомое время, нужно оставшееся расстояние между поездами разделить на их скорость сближения:

$t_{встречи} = \frac{S_{ост}}{v_{сбл}} = \frac{990 \text{ км}}{165 \text{ км/ч}} = 6$ ч.

Ответ: поезда встретятся через 6 часов после выхода второго поезда.