Номер 11, страница 163 - гдз по математике 5 класс сборник задач Пирютко, Терешко

11. a) Сумма длин трёх измерений прямоугольного параллелепипеда равна 63 см. Сумма длины и высоты равна 43 см, а ширины и высоты — 45 см. Найдите сумму площадей всех граней параллелепипеда.

б) Сумма длин трёх измерений прямоугольного параллелепипеда равна 78 см. Сумма длины и высоты равна 53 см, а ширины и высоты — 55 см. Найдите сумму площадей всех граней параллелепипеда.

а)

Обозначим длину, ширину и высоту прямоугольного параллелепипеда как $a$, $b$ и $c$ соответственно.

Согласно условию задачи, мы имеем систему уравнений:
1) Сумма длин трёх измерений: $a + b + c = 63$ см.
2) Сумма длины и высоты: $a + c = 43$ см.
3) Сумма ширины и высоты: $b + c = 45$ см.

Для нахождения измерений параллелепипеда решим эту систему.

Из первого и второго уравнений найдем ширину $b$. Подставим значение $a + c$ из второго уравнения в первое:
$(a + c) + b = 63$
$43 + b = 63$
$b = 63 - 43 = 20$ см.

Теперь, зная ширину $b$, из третьего уравнения найдем высоту $c$:
$b + c = 45$
$20 + c = 45$
$c = 45 - 20 = 25$ см.

Наконец, из второго уравнения найдем длину $a$, зная высоту $c$:
$a + c = 43$
$a + 25 = 43$
$a = 43 - 25 = 18$ см.

Итак, измерения параллелепипеда: длина $a = 18$ см, ширина $b = 20$ см, высота $c = 25$ см.

Сумма площадей всех граней (площадь полной поверхности) прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле: $S = 2(ab + bc + ac)$.

Подставим найденные значения $a$, $b$ и $c$ в формулу:
$S = 2 \cdot (18 \cdot 20 + 20 \cdot 25 + 18 \cdot 25)$
$S = 2 \cdot (360 + 500 + 450)$
$S = 2 \cdot 1310$
$S = 2620$ см².

Ответ: 2620 см².

б)

Аналогично пункту а), обозначим длину, ширину и высоту как $a$, $b$ и $c$.

Составим систему уравнений по условию:
1) $a + b + c = 78$ см.
2) $a + c = 53$ см.
3) $b + c = 55$ см.

Подставим второе уравнение в первое, чтобы найти ширину $b$:
$(a + c) + b = 78$
$53 + b = 78$
$b = 78 - 53 = 25$ см.

Теперь из третьего уравнения найдем высоту $c$, зная ширину $b$:
$b + c = 55$
$25 + c = 55$
$c = 55 - 25 = 30$ см.

Используя второе уравнение и найденную высоту $c$, найдем длину $a$:
$a + c = 53$
$a + 30 = 53$
$a = 53 - 30 = 23$ см.

Мы нашли измерения параллелепипеда: длина $a = 23$ см, ширина $b = 25$ см, высота $c = 30$ см.

Найдем сумму площадей всех граней по формуле $S = 2(ab + bc + ac)$:
$S = 2 \cdot (23 \cdot 25 + 25 \cdot 30 + 23 \cdot 30)$
$S = 2 \cdot (575 + 750 + 690)$
$S = 2 \cdot 2015$
$S = 4030$ см².

Ответ: 4030 см².