Номер 9, страница 163 - гдз по математике 5 класс сборник задач Пирютко, Терешко

9. a) Найдите сумму площадей всех граней прямоугольного параллелепипеда, если общая длина его рёбер равна 84 см, одно из измерений на 4 см меньше другого и на 4 см больше третьего.

б) Найдите сумму площадей всех граней прямоугольного параллелепипеда, если общая длина его рёбер равна 112 дм, одно из измерений в 2 раза меньше другого и в 2 раза больше третьего.

а) Пусть измерения прямоугольного параллелепипеда (длина, ширина, высота) равны $a, b, c$. У параллелепипеда 12 рёбер: по 4 ребра каждой длины. Сумма длин всех рёбер $L$ вычисляется по формуле: $L = 4(a+b+c)$. По условию, общая длина рёбер равна 84 см, значит $L = 84$ см. Составим уравнение: $4(a+b+c) = 84$. Разделим обе части на 4, чтобы найти сумму измерений: $a+b+c = \frac{84}{4} = 21$ см. По условию, одно из измерений на 4 см меньше другого и на 4 см больше третьего. Обозначим это "среднее" измерение как $b$. Тогда другое измерение, которое больше, будет $a = b+4$, а то, которое меньше, будет $c = b-4$. Подставим эти выражения в уравнение для суммы измерений: $(b+4) + b + (b-4) = 21$. Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые: $b+4+b+b-4 = 3b$. Получаем простое уравнение: $3b = 21$. Отсюда находим $b$: $b = \frac{21}{3} = 7$ см. Теперь найдём остальные измерения: $a = b + 4 = 7 + 4 = 11$ см. $c = b - 4 = 7 - 4 = 3$ см. Итак, измерения параллелепипеда равны 3 см, 7 см и 11 см. Сумма площадей всех граней (площадь полной поверхности) $S$ вычисляется по формуле: $S = 2(ab+ac+bc)$. Подставим найденные значения: $S = 2(11 \cdot 7 + 11 \cdot 3 + 7 \cdot 3) = 2(77 + 33 + 21) = 2(131) = 262$ см².
Ответ: 262 см².

б) Пусть измерения прямоугольного параллелепипеда равны $a, b, c$. Сумма длин всех рёбер $L = 4(a+b+c)$. По условию, $L = 112$ дм. Следовательно, $4(a+b+c) = 112$, откуда сумма измерений $a+b+c = \frac{112}{4} = 28$ дм. По условию, одно из измерений в 2 раза меньше другого и в 2 раза больше третьего. Обозначим это "среднее" измерение как $b$. Тогда измерение, которое больше, будет $a = 2b$, а то, которое меньше, будет $c = \frac{b}{2}$. Подставим эти выражения в уравнение для суммы измерений: $2b + b + \frac{b}{2} = 28$. Упростим левую часть: $3b + \frac{b}{2} = \frac{6b}{2} + \frac{b}{2} = \frac{7b}{2}$. Получаем уравнение: $\frac{7b}{2} = 28$. Чтобы найти $b$, умножим обе части на 2 и разделим на 7: $b = \frac{28 \cdot 2}{7} = 4 \cdot 2 = 8$ дм. Теперь найдём остальные измерения: $a = 2b = 2 \cdot 8 = 16$ дм. $c = \frac{b}{2} = \frac{8}{2} = 4$ дм. Итак, измерения параллелепипеда равны 4 дм, 8 дм и 16 дм. Сумма площадей всех граней $S$ вычисляется по формуле: $S = 2(ab+ac+bc)$. Подставим найденные значения: $S = 2(16 \cdot 8 + 16 \cdot 4 + 8 \cdot 4) = 2(128 + 64 + 32) = 2(224) = 448$ дм².
Ответ: 448 дм².