вопросы, страница 57 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

1. Если между двумя выражениями стоит знак «=», то является ли такое равенство тождеством?

2. Если в результате тождественных преобразований одного выражения получили другое выражение, то каковы значения этих выражений?

3. Является ли тождеством равенство $x : x = y : y$?

1. Если между двумя выражениями стоит знак «=», то является ли такое равенство тождеством?
Нет, не всякое равенство является тождеством. Равенство, содержащее знак «=», может быть как тождеством, так и уравнением.
Тождество — это равенство, которое верно при любых допустимых значениях входящих в него переменных. Например, равенство $a(b+c) = ab + ac$ является тождеством, так как оно справедливо для любых чисел $a$, $b$ и $c$.
Уравнение — это равенство, которое верно лишь при определённых значениях переменных (эти значения называются корнями уравнения). Например, $x + 5 = 8$ — это уравнение, так как оно верно только при $x = 3$.
Следовательно, наличие знака «=» само по себе не означает, что равенство является тождеством.
Ответ: Нет.

2. Если в результате тождественных преобразований одного выражения получили другое выражение, то каковы значения этих выражений?
Тождественные преобразования — это такие преобразования выражения, которые заменяют его другим выражением, имеющим то же самое значение при любых допустимых значениях переменных.
Например, раскроем скобки в выражении $2(a-4)$. Получим выражение $2a-8$. Эти два выражения, $2(a-4)$ и $2a-8$, являются тождественно равными, то есть их значения будут одинаковыми при любом значении переменной $a$.
Ответ: Значения этих выражений равны при любых допустимых значениях переменных.

3. Является ли тождеством равенство $x : x = y : y$?
Чтобы определить, является ли равенство $x : x = y : y$ тождеством, нужно проверить, выполняется ли оно для всех допустимых значений переменных $x$ и $y$.
1. Определим область допустимых значений (ОДЗ). В выражениях присутствует деление на переменную ($x : x$ и $y : y$). Так как делить на ноль нельзя, переменные $x$ и $y$ не могут быть равны нулю. Таким образом, ОДЗ: $x \neq 0$ и $y \neq 0$.
2. Упростим обе части равенства. Для любых ненулевых значений $x$ и $y$:

• Левая часть: $x : x = 1$
• Правая часть: $y : y = 1$

3. Сравним полученные выражения. Равенство принимает вид $1 = 1$, что является верным числовым равенством.
Поскольку исходное равенство $x : x = y : y$ верно для всех значений переменных из области допустимых значений, оно является тождеством.
Ответ: Да.