Номер 2.45, страница 57 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

Для доказательства тождественного равенства данных выражений используются следующие основные свойства арифметических действий:

а) $2 + 3x$ и $3x + 2$

Данные выражения представляют собой сумму двух слагаемых: числа $2$ и одночлена $3x$. Во втором выражении эти слагаемые просто поменяны местами. Тождественное равенство этих выражений следует из переместительного (коммутативного) свойства сложения.

Это свойство утверждает, что от перемены мест слагаемых их сумма не изменяется. В общем виде оно записывается так:

$a + b = b + a$

В данном примере, если мы обозначим $a = 2$ и $b = 3x$, то равенство $2 + 3x = 3x + 2$ становится очевидной демонстрацией этого свойства.

Ответ: Переместительное свойство сложения.

б) $7(a - b)$ и $7a - 7b$

Здесь мы сравниваем выражение, где число $7$ умножается на разность $(a - b)$, с выражением, представляющим разность двух произведений $7a$ и $7b$. Переход от первого выражения ко второму (раскрытие скобок) основан на распределительном (дистрибутивном) свойстве умножения относительно вычитания.

Это свойство гласит, что для того, чтобы умножить число на разность, нужно это число умножить на уменьшаемое и на вычитаемое по отдельности, а затем вычесть второе произведение из первого.

Формула этого свойства:

$c(a - b) = ca - cb$

Применяя эту формулу к нашему случаю, где $c=7$, получаем: $7(a - b) = 7a - 7b$.

Ответ: Распределительное свойство умножения относительно вычитания.

в) $n \cdot 3m$ и $3nm$

Тождественное равенство этих выражений объясняется совместным использованием двух фундаментальных свойств умножения: сочетательного (ассоциативного) и переместительного (коммутативного).

1. Сначала рассмотрим выражение $n \cdot 3m$ как произведение $n \cdot (3 \cdot m)$. Сочетательное свойство умножения, которое записывается как $a(bc) = (ab)c$, позволяет нам перегруппировать множители: $n \cdot (3 \cdot m) = (n \cdot 3) \cdot m$.

2. Далее, на выражение в скобках $(n \cdot 3)$ действует переместительное свойство умножения, формула которого $ab = ba$. Это позволяет поменять множители местами: $(n \cdot 3) = (3 \cdot n)$.

Собирая все вместе, мы получаем цепочку преобразований:

$n \cdot 3m = n \cdot (3 \cdot m) = (n \cdot 3) \cdot m = (3 \cdot n) \cdot m = 3nm$

Таким образом, мы можем свободно переставлять и группировать множители в произведении.

Ответ: Сочетательное и переместительное свойства умножения.