Номер 2.46, страница 57 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.46. Являются ли тождественно равными выражения:

а) $a(-b)$ и $(-a)b$;

б) $b+b+b+b+b$ и $b^5$;

в) $(-a)^2$ и $-a^2$;

г) $(-a)^3$ и $-a^3$?

Придумайте примеры тождественно равных выражений.

Анализ и решение задачи о тождественно равных выражениях

Тождественно равные выражения — это такие выражения, значения которых совпадают при любых допустимых значениях переменных, входящих в них. Для проверки тождественного равенства мы упростим каждое из предложенных выражений.

Упростим первое выражение, используя сочетательный (ассоциативный) закон умножения: $a(-b) = a \cdot (-1) \cdot b = -1 \cdot (a \cdot b) = -ab$.

Теперь упростим второе выражение: $(-a)b = (-1) \cdot a \cdot b = -1 \cdot (a \cdot b) = -ab$.

Поскольку оба выражения приводятся к одному и тому же виду $-ab$, они равны при любых значениях переменных $a$ и $b$.
Ответ: да, являются.

Первое выражение является суммой пяти одинаковых слагаемых, что по определению умножения равно $5 \cdot b$ или $5b$.

Второе выражение $b^5$ является степенью, что означает произведение пяти множителей, равных $b$: $b \cdot b \cdot b \cdot b \cdot b$.

Чтобы проверить, равны ли $5b$ и $b^5$ тождественно, подставим произвольное значение $b$, например, $b=2$:
$5 \cdot 2 = 10$
$2^5 = 32$
Поскольку $10 \neq 32$, значения выражений не совпадают для всех $b$.
Ответ: нет, не являются.

Рассмотрим первое выражение. Возведение в квадрат означает умножение выражения само на себя: $(-a)^2 = (-a) \cdot (-a) = a^2$.

Во втором выражении $-a^2$ порядок действий следующий: сначала выполняется возведение в степень, а затем применяется знак минуса (унарная операция). $-a^2 = -(a^2)$.

Сравним $a^2$ и $-a^2$. Если $a$ не равно нулю (например, при $a=1$), то $a^2=1$, а $-a^2=-1$. Значения не равны.
Ответ: нет, не являются.

Упростим первое выражение. Возведение в нечетную (третью) степень отрицательного числа дает в результате отрицательное число: $(-a)^3 = (-a) \cdot (-a) \cdot (-a) = (a^2) \cdot (-a) = -a^3$.

Второе выражение уже представлено в виде $-a^3$.

Так как оба выражения равны $-a^3$ при любом значении $a$, они тождественно равны.
Ответ: да, являются.

Тождественно равные выражения можно составить, используя основные алгебраические законы и формулы.

• Распределительный закон: $7(x - y)$ и $7x - 7y$.
• Сочетательный закон сложения: $k + (m + n)$ и $(k + m) + n$.
• Формула квадрата разности: $(a-b)^2$ и $a^2 - 2ab + b^2$.
• Приведение подобных членов: $9x + 2 - 5x + 3$ и $4x + 5$.

Ответ: например, выражения $(c+d)(c-d)$ и $c^2-d^2$ являются тождественно равными.