Номер 2.51, страница 58 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.51. Преобразуйте выражение $a^7 : a^{11} \cdot a^2$ в тождественно равное, используя свойства степени с целым показателем, и найдите значение полученного выражения при:

a) $a = 3$;

б) $a = -0,25$.

Условие: Преобразуйте выражение $a^7 : a^{11} \cdot a^2$ в тождественно равное, используя свойства степени с целым показателем, и найдите значение полученного выражения при: а) $a = 3$; б) $a = -0,25$.

Шаг 1: Упрощение выражения

Для упрощения выражения $a^7 : a^{11} \cdot a^2$ воспользуемся свойствами степеней:

• При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются: $a^m : a^n = a^{m-n}$.
• При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

Выполним действия по порядку:

1. Деление: $a^7 : a^{11} = a^{7-11} = a^{-4}$.

2. Умножение: $a^{-4} \cdot a^2 = a^{-4+2} = a^{-2}$.

Также можно записать выражение в виде дроби и упростить:

$a^7 : a^{11} \cdot a^2 = \frac{a^7}{a^{11}} \cdot a^2 = \frac{a^7 \cdot a^2}{a^{11}} = \frac{a^{7+2}}{a^{11}} = \frac{a^9}{a^{11}} = a^{9-11} = a^{-2}$.

Используя свойство степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, получим:

$a^{-2} = \frac{1}{a^2}$

Таким образом, тождественно равное выражение: $\frac{1}{a^2}$.

Шаг 2: Вычисление значений выражения

а) Найдем значение выражения при $a = 3$.

Подставим $a=3$ в упрощенное выражение $\frac{1}{a^2}$:

$\frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}$

Это правильная дробь, целая часть равна 0.

Ответ: $\frac{1}{9}$

б) Найдем значение выражения при $a = -0,25$.

Сначала представим десятичную дробь $-0,25$ в виде обыкновенной дроби:

$-0,25 = -\frac{25}{100} = -\frac{1}{4}$

Теперь подставим $a = -\frac{1}{4}$ в упрощенное выражение $\frac{1}{a^2}$:

$\frac{1}{\left(-\frac{1}{4}\right)^2} = \frac{1}{\frac{(-1)^2}{4^2}} = \frac{1}{\frac{1}{16}} = 1 \cdot \frac{16}{1} = 16$

Результат является целым числом.

Ответ: 16